Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Seja \ell o lado do quadrado. A circunferência inscrita tem raio r=\ell/2 e a circunscrita tem raio R=\ell\sqrt2/2, logo R^2=2r^2. Vamos calcular as três áreas em função de r.

1. Região c: setor de 90^\circ da circunferência inscrita, então c=\dfrac{\pi r^2}{4}.

2. Região b: é o canto do quadrado fora da circunferência inscrita. O quadrado tem área 4r^2 e o círculo inscrito \pi r^2. Como são 4 cantos iguais, b=\dfrac{4r^2-\pi r^2}{4}=r^2-\dfrac{\pi r^2}{4}.

3. Região a: é um segmento circular da circunferência circunscrita, delimitado por um lado do quadrado. O lado subtende 90^\circ em O. Área do segmento = setor de 90^\circ menos o triângulo OAB (de área \ell^2/4=r^2):
   

   a=\frac{\pi R^2}{4}-r^2=\frac{2\pi r^2}{4}-r^2=\frac{\pi r^2}{2}-r^2.

Agora comparamos com c:

Portanto c=a+b.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Ba-b=\pi r^2/2-2r^2+\pi r^2/4 não é igual a c; a diferença não aparece na relação.
• C2a+b=\tfrac{3\pi r^2}{4}-r^2, que difere de c=\pi r^2/4.
• Da+2b=r^2+\dots contém termo r^2 que não se cancela, então não vale c.
• E2a-b=\tfrac{5\pi r^2}{4}-3r^2, diferente de c.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.