Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?

Três cubos idênticos unidos em formato de L, todos com a face superior amarela marcada com a letra O. O primeiro cubo à esquerda tem a face frontal azul com a letra P; o cubo central tem a face frontal vermelha com a letra Q; o cubo da direita tem a face frontal verde com a letra S e a face lateral direita magenta com a letra T.

A
S
B
R
C
Q
D
P
E
O

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?

Três cubos idênticos unidos em formato de L, todos com a face superior amarela marcada com a letra O. O primeiro cubo à esquerda tem a face frontal azul com a letra P; o cubo central tem a face frontal vermelha com a letra Q; o cubo da direita tem a face frontal verde com a letra S e a face lateral direita magenta com a letra T.

A
S
B
R
C
Q
D
P
E
O

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como as letras P, Q, S e T estão visíveis na ilustração, essas são as faces adjacentes à face com a letra O, e a face oposta à letra O é a face com a letra R. As faces em contato entre os dados 1 e 2 não podem ser P (visível na ilustração do dado 1), nem Q ou S (visíveis na ilustração do dado 2). Portanto, tem que ser T. Olhando para o dado 2, concluímos que a face com S é oposta à face com T.

[Figura: Três dados cúbicos dispostos em linha, identificados pelas setas com os números 1, 2 e 3. As faces superiores dos três dados contêm a letra O. O dado 1 exibe a letra P na face frontal; o dado 2 exibe a letra Q na face frontal e a letra S na face lateral visível; o dado 3 exibe a letra T na face lateral visível.]

Outra solução: A letra O possui quatro faces vizinhas com as letras P, Q, S e T. Primeiramente observe que Zequinha juntou o dado 2 com o dado 3 pela face P, pois esta mesma face não pode estar na junção do dado 2 com o dado 1, que possui a face P visível. Logo, os dados 1 e 2 foram juntados pela face T. Assim, S e T são faces opostas, o que responde à questão. É claro também que P é oposta a Q, bem como R, que não aparece na ilustração, é oposta a O.

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Resolução comentada

Como os três dados são iguais e estão com O para cima, suas quatro letras laterais são as mesmas, apenas giradas em torno do eixo vertical.

A figura mostra que P, Q, S e T aparecem em faces laterais. Portanto, essas são as quatro letras que ficam ao redor de cada dado; sobra R para a face de baixo, oposta a O.

No dado central, vemos Q na frente e S à direita. Assim, suas faces de trás e da esquerda têm as letras P e T, em alguma ordem.

Agora observe o contato com o dado da esquerda: a face esquerda do dado central encosta na face direita desse outro dado. Essa face de contato não pode ter P, pois o dado da esquerda já tem P na frente, e cada letra aparece uma única vez em cada dado.

Logo, a face esquerda do dado central tem T. Como sua face direita tem S, concluímos que T e S estão em faces opostas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BR fica na face inferior, oposta a O, e não a T.
CQ fica oposta a P e é vizinha de T.
DP fica oposta a Q e é vizinha de T.
EO é vizinha de todas as faces laterais, incluindo T.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗