Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Um ponto está a 1 cm de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1 cm. Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os pontos que estão a 1 cm de distância do círculo da Figura 1. A seguir, ela fez o mesmo para a região quadrada da Figura 2. Qual é o desenho que ela vai obter se traçar todos os pontos que estão a 1 cm de distância da região poligonal da Figura 3?

Figura 1: círculo verde com contorno circular vermelho a 1 cm de distância; Figura 2: região quadrada verde com contorno vermelho com cantos arredondados a 1 cm de distância

Figura 3: região poligonal verde

Alternativas A a E mostrando propostas de contorno vermelho a 1 cm da região poligonal da Figura 3

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Um ponto está a 1 cm de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1 cm. Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os pontos que estão a 1 cm de distância do círculo da Figura 1. A seguir, ela fez o mesmo para a região quadrada da Figura 2. Qual é o desenho que ela vai obter se traçar todos os pontos que estão a 1 cm de distância da região poligonal da Figura 3?

Figura 1: círculo verde com contorno circular vermelho a 1 cm de distância; Figura 2: região quadrada verde com contorno vermelho com cantos arredondados a 1 cm de distância

Figura 3: região poligonal verde

Alternativas A a E mostrando propostas de contorno vermelho a 1 cm da região poligonal da Figura 3

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como a distância de um ponto a uma figura geométrica é a menor distância desse ponto aos pontos da figura, o desenho que Celinha obtém ao traçar os pontos que estão a 1 cm da Figura 3 é a trajetória do centro de um círculo de raio 1 quando este se move pelo contorno da figura tangenciando-o. Nesse caso, as curvas obtidas são segmentos de retas ou arcos de circunferências. Nos vértices em que a figura se lança para fora, aparecem arcos de circunferências, mas isto não ocorre nos dois vértices em que a figura se lança para dentro (marcados com as setas largas).

[Figura: Polígono azul sombreado envolvido por uma curva formada por segmentos paralelos aos lados e arcos nos vértices salientes, mostrando um círculo rolando sobre uma das bordas com uma seta de rotação, e duas setas largas apontando para os dois vértices reentrantes da figura.]

Outra solução: Uma maneira de obter o traço cujos pontos distam 1 cm da Figura 3 é considerar o contorno da figura formada ao considerar a união dos discos (círculos preenchidos) de raio 1 cm centrados em pontos da Figura 3. O contorno dessa união de discos aparece representado na alternativa A.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

O conjunto dos pontos a 1 cm de uma região poligonal é o seu contorno "engordado". Pela Figura 2, vemos como isso funciona:

Ao longo de cada lado, o ponto mais próximo da figura está na perpendicular ao lado. Então a linha vermelha é um segmento paralelo ao lado, a 1 cm dele.
Em cada vértice convexo (ângulo interno menor que 180^\circ), o ponto mais próximo é o próprio vértice. A linha vermelha é então um arco de circunferência de raio 1 cm, centrado no vértice, que liga os dois segmentos paralelos. É por isso que o quadrado da Figura 2 tem cantos arredondados.
Em cada vértice côncavo (ângulo interno maior que 180^\circ), as paralelas aos dois lados se cruzam, formando um canto "vivo", sem arredondar.

A Figura 3 é um polígono com vértices convexos (cantos arredondados) e dois vértices côncavos (onde o contorno vermelho forma ângulos vivos). Os lados do contorno vermelho têm as mesmas direções dos lados do polígono, e as bordas são curvas apenas nos cantos convexos.

Isso descarta:

a alternativa B, que não tem cantos arredondados e tem lados muito afastados;
as alternativas C, D e E, que apresentam curvas em trechos retos ou formas incompatíveis com a distância constante de 1 cm.

A alternativa A mostra exatamente isso: lados paralelos aos do polígono, cantos convexos arredondados e entradas com ângulo vivo.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BSó tem segmentos retos e pontas vivas, sem arcos nos vértices convexos, e fica longe da figura em vários lados (não é 1 cm).
CApresenta ondulações (várias "bolhas") que não correspondem a arcos de raio 1 cm nos vértices.
DTem trechos curvos longos no lugar de segmentos paralelos aos lados, o que contraria a distância constante.
ETem um grande arco no topo, em vez de segmento reto paralelo ao lado e arcos pequenos nos vértices.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2017 · Questão 5 (Nível 2)Um ponto está a 1cm de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1cm . Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os…

Ver como caiu na prova

Questão 3 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗