Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?

Três dados cúbicos idênticos unidos em formato de L. Cada um possui a letra O na face superior amarela. O dado da esquerda possui a letra P na face frontal azul; o do meio possui a letra Q na face frontal vermelha; o da direita possui a letra S na face verde voltada para a direita e a letra T na face rosa lateral.

A
S
B
R
C
Q
D
P
E
O

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?

Três dados cúbicos idênticos unidos em formato de L. Cada um possui a letra O na face superior amarela. O dado da esquerda possui a letra P na face frontal azul; o do meio possui a letra Q na face frontal vermelha; o da direita possui a letra S na face verde voltada para a direita e a letra T na face rosa lateral.

A
S
B
R
C
Q
D
P
E
O

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Solução oficial da OBMEP

Como as letras P, Q, S e T estão visíveis na ilustração, essas são as faces adjacentes à face com a letra O, e a face oposta à letra O é a face com a letra R. As faces em contato entre os dados 1 e 2 não podem ser P (visível na ilustração do dado 1), nem Q ou S (visíveis na ilustração do dado 2). Portanto, tem que ser T. Olhando para o dado 2, concluímos que a face com S é oposta à face com T.

[Figura: Três dados cúbicos alinhados em formato de L ou em degraus, identificados por setas verticais como 1, 2 e 3. Todos possuem a letra O na face superior (amarela). O cubo 1 possui a face azul com a letra P voltada para a frente; o cubo 2 possui a face vermelha com a letra Q à frente e a face verde com a letra S na lateral; o cubo 3 possui a face rosa com a letra T à frente.]

Outra solução: A letra O possui quatro faces vizinhas com as letras P, Q, S e T. Primeiramente observe que Zequinha juntou o dado 2 com o dado 3 pela face P, pois esta mesma face não pode estar na junção do dado 2 com o dado 1, que possui a face P visível. Logo, os dados 1 e 2 foram juntados pela face T. Assim, S e T são faces opostas, o que responde à questão. É claro também que P é oposta a Q, bem como R, que não aparece na ilustração, é oposta a O.

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Como os três dados são iguais e estão com O para cima, as letras das quatro faces laterais aparecem sempre na mesma ordem ao redor de cada dado. Girar um dado pode mudar a face da frente, mas não muda essa ordem.

No dado do meio, vemos Q na frente e S à direita. Chamando as letras escondidas de X e Y, a ordem das faces, passando por frente, direita, trás e esquerda, é:

Q\;\rightarrow\;S\;\rightarrow\;X\;\rightarrow\;Y.

A face direita do dado da esquerda encosta na face esquerda do dado do meio. Portanto, ela tem a letra Y. Como esse dado mostra P na frente, a sequência contém P\rightarrow Y. Comparando com a ordem acima, concluímos que X=P.

Agora observe o dado de trás: sua face da frente encosta na face de trás do dado do meio, logo tem a letra X=P. Sua face direita mostra T, formando a sequência P\rightarrow T. Assim, Y=T.

Portanto, no dado do meio, S está à direita e T está à esquerda: são faces opostas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BR fica na face oposta a O, não a T.
CQ fica na face oposta a P, não a T.
DP fica na face oposta a Q, não a T.
EO é adjacente a T, pois está no topo e T está em uma face lateral.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗