Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?

Três cubos enfileirados lado a lado, todos com a face superior amarela exibindo a letra O. As faces frontais exibem, da esquerda para a direita, a letra P sobre fundo azul, a letra Q sobre fundo vermelho e a letra S sobre fundo verde. A face lateral direita do terceiro cubo é magenta e exibe a letra T.

A
S
B
R
C
Q
D
P
E
O

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?

Três cubos enfileirados lado a lado, todos com a face superior amarela exibindo a letra O. As faces frontais exibem, da esquerda para a direita, a letra P sobre fundo azul, a letra Q sobre fundo vermelho e a letra S sobre fundo verde. A face lateral direita do terceiro cubo é magenta e exibe a letra T.

A
S
B
R
C
Q
D
P
E
O

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como as letras P, Q, S e T estão visíveis na ilustração, essas são as faces adjacentes à face com a letra O, e a face oposta à letra O é a face com a letra R. As faces em contato entre os dados 1 e 2 não podem ser P (visível na ilustração do dado 1), nem Q ou S (visíveis na ilustração do dado 2). Portanto, tem que ser T. Olhando para o dado 2, concluímos que a face com S é oposta à face com T.

[Figura: Três dados cúbicos enfileirados horizontalmente, identificados por setas abaixo como 1, 2 e 3. As faces superiores dos três dados mostram a letra O. O dado 1 exibe a letra P na face lateral esquerda; o dado 2 exibe a letra Q na face frontal; o dado 3 exibe a letra S na face frontal e a letra T na face lateral direita.]

Outra solução: A letra O possui quatro faces vizinhas com as letras P, Q, S e T. Primeiramente observe que Zequinha juntou o dado 2 com o dado 3 pela face P, pois esta mesma face não pode estar na junção do dado 2 com o dado 1, que possui a face P visível. Logo, os dados 1 e 2 foram juntados pela face T. Assim, S e T são faces opostas, o que responde à questão. É claro também que P é oposta a Q, bem como R, que não aparece na ilustração, é oposta a O.

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Resolução comentada

Na figura, Q e S estão no mesmo dado: Q aparece na frente, e S, na lateral direita. O dado com T na lateral está atrás desse dado, com uma face encostada nele.

Como os três dados são iguais e estão com O para cima, suas posições só podem diferir por giros em torno do eixo vertical. As outras quatro faces ficam nas laterais.

Observe os dois dados da direita. As faces em contato têm a mesma letra, mas apontam em sentidos contrários: uma está voltada para trás e a outra, para a frente. Para isso acontecer mantendo O no topo, um dado precisa estar girado 180^\circ em relação ao outro.

Esse meio giro também troca a direita pela esquerda. Portanto, a letra S, que está na lateral direita do dado com Q, está na lateral esquerda do dado com T.

Nesse último dado, temos S à esquerda e T à direita. Essas duas faces são opostas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BR não ocupa a face oposta a T; essa posição é ocupada por S.
CQ fica em uma face adjacente à de T, não na face oposta.
DP fica em uma face adjacente à de T, não na face oposta.
EO aparece no topo do dado com T e, portanto, é adjacente a T.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗