Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A
11
B
14
C
21
D
22
E
23

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A
11
B
14
C
21
D
22
E
23

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos primeiro que Joãozinho pode escolher 22 bolas sem que nenhum grupo de 7 delas satisfaça as condições do enunciado; por exemplo, ele pode escolher 10 bolas verdes, 10 amarelas, 1 azul e 1 amarela. Por outro lado, se ele escolher 23 bolas haverá, necessariamente, um grupo de 7 delas que satisfará a condição do enunciado. Podemos ver isso como segue.

Ao escolher 23 bolas, pelo menos 6 delas serão de uma mesma 1.ª cor. De fato, se isso não acontecesse, então haveria no máximo 5 bolas de cada cor, ou seja, Joãozinho teria escolhido no máximo 5 + 5 + 5 + 5 = 20 bolas, o que não é o caso, já que estamos supondo que ele escolheu 23. O maior número possível de bolas dessa cor entre as escolhidas é 10; sobram, então, no mínimo 23 - 10 = 13 bolas para as outras três cores. O mesmo raciocínio aqui mostra que há pelo menos 5 bolas de uma 2.ª cor e que sobram no mínimo 13 - 10 = 3 bolas para as duas cores restantes; finalmente, outra vez o mesmo raciocínio mostra que há pelos menos 2 bolas de uma 3.ª cor.

Mostramos, assim, que, se Joãozinho escolher 23 bolas, entre elas haverá um grupo de 13 bolas com 6 de uma 1.ª cor, 5 de uma 2.ª cor e 2 de uma 3.ª cor; em particular, entre essas bolas aparecerão 3 da 1.ª cor, 2 da 2.ª e 2 da 3.ª. Segue que 23 é o menor número de bolas que ele deve escolher para garantir a condição do enunciado.

Observação geral: O argumento empregado nessa solução pode ser formalizado como segue: se a_1, a_2, \text{...}, a_n são números reais e sua média aritmética é m, isto é, \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} = m, então, ou a_1 = a_2 = \dots = a_n = m ou existe pelo menos um índice i tal que a_i < m e pelo menos um índice j tal que a_j > m. No nosso caso, fizemos uma escolha de a_1 bolas verdes, a_2 bolas amarelas, a_3 bolas azuis e a_4 bolas vermelhas tal que a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 23; temos \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} = \frac{23}{4} > 5. Segue que existe pelo menos um i tal que a_i > 5, e, como a_i é um número inteiro, temos a_i \ge 6; em outras palavras, entre as 23 bolas existem pelo menos 6 de uma mesma cor, e analogamente para o restante da solução. A demonstração do fato geral do início desse parágrafo é inteiramente análoga à do caso particular que acabamos de analisar.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Vamos usar o princípio da casa dos pombos: precisamos achar o pior caso, isto é, a maior quantidade de bolas que Joãozinho pode retirar sem conseguir o grupo desejado. Uma bola a mais garante o grupo.

O grupo exige: uma cor com pelo menos 3 bolas e outras duas cores, cada uma com pelo menos 2 bolas.

Há duas maneiras de falhar com muitas bolas:

Só duas cores com 2 ou mais bolas: pegamos as 10 de uma cor, as 10 de outra, e apenas 1 de cada uma das outras duas. Total: 10+10+1+1=22. Só há duas cores com pelo menos 2 bolas, então falta a terceira cor.
Nenhuma cor com 3 ou mais bolas: no máximo 2 de cada cor, total 4\cdot 2=8. Menos que 22.

Outro caso: uma cor com muitas bolas, uma com 2 e as demais com 1 não passa de 10+10+..., e o melhor é o caso 1.

Verificando o caso 1: com 22 bolas sem o grupo, temos 10, 10, 1, 1. Então 22 bolas não garantem.

Com 23 bolas: ficam no máximo 10 em uma cor. Se só duas cores tivessem 2 ou mais bolas, o máximo seria 10+10+1+1=22, contradição. Logo, pelo menos três cores têm 2 ou mais bolas. Como 23>3\cdot 2+1, pelo menos uma tem 3 ou mais: se todas tivessem no máximo 2, o total seria no máximo 8. Assim, uma cor tem pelo menos 3 e duas outras têm pelo menos 2. Isso garante o grupo.

Portanto, o mínimo é 23.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: 22 é o tamanho do pior caso sem o grupo, e o mínimo que garante é 22 + 1 = 23.

Por que as outras alternativas estão erradas

A11 bolas não garantem nada: podem ser 10 de uma cor e 1 de outra.
B14 bolas ainda permitem, por exemplo, 10 de uma cor e 4 de outra, só duas cores.
C21 bolas permitem 10, 10 e 1 de uma terceira cor, sem o grupo.
D22 é o pior caso sem o grupo (10, 10, 1, 1); falta retirar mais uma bola.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova

Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗