Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A
11
B
14
C
21
D
22
E
23

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A
11
B
14
C
21
D
22
E
23

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos primeiro que Joãozinho pode escolher 22 bolas sem que nenhum grupo de 7 delas satisfaça as condições do enunciado; por exemplo, ele pode escolher 10 bolas verdes, 10 amarelas, 1 azul e 1 amarela. Por outro lado, se ele escolher 23 bolas haverá, necessariamente, um grupo de 7 delas que satisfará a condição do enunciado. Podemos ver isso como segue.

Ao escolher 23 bolas, pelo menos 6 delas serão de uma mesma 1.^a cor. De fato, se isso não acontecesse, então haveria no máximo 5 bolas de cada cor, ou seja, Joãozinho teria escolhido no máximo 5 + 5 + 5 + 5 = 20 bolas, o que não é o caso, já que estamos supondo que ele escolheu 23. O maior número possível de bolas dessa cor entre as escolhidas é 10; sobram, então, no mínimo 23 - 10 = 13 bolas para as outras três cores. O mesmo raciocínio aqui mostra que há pelo menos 5 bolas de uma 2.^a cor e que sobram no mínimo 13 - 10 = 3 bolas para as duas cores restantes; finalmente, outra vez o mesmo raciocínio mostra que há pelos menos 2 bolas de uma 3.^a cor.

Mostramos, assim, que, se Joãozinho escolher 23 bolas, entre elas haverá um grupo de 13 bolas com 6 de uma 1.^a cor, 5 de uma 2.^a cor e 2 de uma 3.^a cor; em particular, entre essas bolas aparecerão 3 da 1.^a cor, 2 da 2.^a e 2 da 3.^a. Segue que 23 é o menor número de bolas que ele deve escolher para garantir a condição do enunciado.

Observação geral: O argumento empregado nessa solução pode ser formalizado como segue: se a_1, a_2, \text{...}, a_n são números reais e sua média aritmética é m, isto é, \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} = m, então, ou a_1 = a_2 = \cdots = a_n = m ou existe pelo menos um índice i tal que a_i < m e pelo menos um índice j tal que a_j > m. No nosso caso, fizemos uma escolha de a_1 bolas verdes, a_2 bolas amarelas, a_3 bolas azuis e a_4 bolas vermelhas tal que a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 23; temos \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} = \frac{23}{4} > 5. Segue que existe pelo menos um i tal que a_i > 5, e, como a_i é um número inteiro, temos a_i \ge 6; em outras palavras, entre as 23 bolas existem pelo menos 6 de uma mesma cor, e analogamente para o restante da solução. A demonstração do fato geral do início desse parágrafo é inteiramente análoga à do caso particular que acabamos de analisar.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Procuramos o maior número de bolas que não garante o grupo desejado. O mínimo será esse número mais 1.

O grupo exige três cores: uma com pelo menos 3 bolas e outras duas com pelo menos 2 bolas cada.

Para evitar o grupo, há dois casos:

Se pelo menos três cores têm 2 ou mais bolas, nenhuma pode ter 3 ou mais. Caso contrário, essa cor com 3 bolas e as outras duas com 2 formariam o grupo. Então o máximo é 2+2+2+1=7 bolas.
Se no máximo duas cores têm 2 ou mais bolas, não existem três cores com pelo menos 2 bolas, e o grupo é impossível. Aqui as duas cores podem ter até 10 bolas cada (o máximo da caixa), e as outras duas só 1 bola cada: 10+10+1+1=22 bolas.

O maior número de bolas sem o grupo é 22. Com 23 bolas, o grupo aparece necessariamente.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D (22) engana quem para no pior caso, 10+10+1+1, e esquece de somar 1 bola para garantir o grupo.

Por que as outras alternativas estão erradas

A11 é um número muito pequeno, que ignora que duas cores podem ser esgotadas sem formar o grupo.
B14 não considera que é possível retirar 22 bolas sem formar o grupo.
C21 é menor que 22, e com 22 bolas (10, 10, 1, 1) ainda não há o grupo.
D22 é o máximo de bolas sem garantia; falta somar 1 para ter certeza.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗