Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A
11
B
14
C
21
D
22
E
23

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A
11
B
14
C
21
D
22
E
23

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos primeiro que Joãozinho pode escolher 22 bolas sem que nenhum grupo de 7 delas satisfaça as condições do enunciado; por exemplo, ele pode escolher 10 bolas verdes, 10 amarelas, 1 azul e 1 amarela. Por outro lado, se ele escolher 23 bolas haverá, necessariamente, um grupo de 7 delas que satisfará a condição do enunciado. Podemos ver isso como segue.

Ao escolher 23 bolas, pelo menos 6 delas serão de uma mesma 1.^a cor. De fato, se isso não acontecesse, então haveria no máximo 5 bolas de cada cor, ou seja, Joãozinho teria escolhido no máximo 5 + 5 + 5 + 5 = 20 bolas, o que não é o caso, já que estamos supondo que ele escolheu 23. O maior número possível de bolas dessa cor entre as escolhidas é 10; sobram, então, no mínimo 23 - 10 = 13 bolas para as outras três cores. O mesmo raciocínio aqui mostra que há pelo menos 5 bolas de uma 2.^a cor e que sobram no mínimo 13 - 10 = 3 bolas para as duas cores restantes; finalmente, outra vez o mesmo raciocínio mostra que há pelos menos 2 bolas de uma 3.^a cor.

Mostramos, assim, que, se Joãozinho escolher 23 bolas, entre elas haverá um grupo de 13 bolas com 6 de uma 1.^a cor, 5 de uma 2.^a cor e 2 de uma 3.^a cor; em particular, entre essas bolas aparecerão 3 da 1.^a cor, 2 da 2.^a e 2 da 3.^a. Segue que 23 é o menor número de bolas que ele deve escolher para garantir a condição do enunciado.

Observação geral: O argumento empregado nessa solução pode ser formalizado como segue: se a_1, a_2, \text{...}, a_n são números reais e sua média aritmética é m, isto é, \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} = m, então, ou a_1 = a_2 = \dots = a_n = m ou existe pelo menos um índice i tal que a_i < m e pelo menos um índice j tal que a_j > m. No nosso caso, fizemos uma escolha de a_1 bolas verdes, a_2 bolas amarelas, a_3 bolas azuis e a_4 bolas vermelhas tal que a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 23; temos \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} = \frac{23}{4} > 5. Segue que existe pelo menos um i tal que a_i > 5, e, como a_i é um número inteiro, temos a_i \ge 6; em outras palavras, entre as 23 bolas existem pelo menos 6 de uma mesma cor, e analogamente para o restante da solução. A demonstração do fato geral do início desse parágrafo é inteiramente análoga à do caso particular que acabamos de analisar.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Use o raciocínio do pior caso: descubra o maior número de bolas que podem ser retiradas sem formar o grupo desejado. Depois, some 1.

Para ter o grupo (3 de uma cor, 2 de outra, 2 de outra), precisamos de uma cor com pelo menos 3 bolas e de outras duas cores com pelo menos 2 bolas cada. Então o grupo não existe quando uma destas situações ocorre:

Todas as cores têm no máximo 2 bolas: 4\cdot 2 = 8 bolas.
Só uma cor tem 2 ou mais bolas, e as outras três têm no máximo 1: 10+1+1+1 = 13 bolas.
Só duas cores têm 2 ou mais bolas, e as outras duas têm no máximo 1: 10+10+1+1 = 22 bolas.

O pior caso é o terceiro. Joãozinho pode retirar 22 bolas (10 de uma cor, 10 de outra, 1 de cada uma das duas restantes) e ainda não ter o grupo, porque só duas cores têm pelo menos 2 bolas.

Com 23 bolas isso deixa de ser possível. O máximo sem o grupo é 22, então a 23ª bola obriga a existência de pelo menos três cores com 2 ou mais bolas. Entre elas, ao menos uma tem 3 ou mais, e o grupo se forma.

O mínimo é 22+1=23.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: 22 é o pior caso sem o grupo, e quem esquece de somar 1 marca 22.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANúmero muito pequeno; com 11 bolas ainda é possível ter só duas cores (por exemplo, 10 e 1).
B14 bolas ainda permitem, por exemplo, 10 de uma cor e 4 de outra, sem o grupo.
C21 bolas ainda permitem 10+10+1, sem o grupo.
D22 é o máximo de bolas sem garantir o grupo (10+10+1+1); falta somar 1.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗