Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Ilustração de oito crianças com uniforme de futebol: cinco em campo e três sentadas em um banco de reservas

Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

A
27 minutos e 30 segundos
B
30 minutos
C
37 minutos e 30 segundos
D
40 minutos
E
42 minutos e 30 segundos

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Ilustração de oito crianças com uniforme de futebol: cinco em campo e três sentadas em um banco de reservas

Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

A
27 minutos e 30 segundos
B
30 minutos
C
37 minutos e 30 segundos
D
40 minutos
E
42 minutos e 30 segundos

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Durante a partida foram formadas várias equipes de 5 atletas, até o tempo acabar. Observamos que:

a quantidade de tempo que o atleta 1 jogou (T1) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S1),
a quantidade de tempo que o atleta 2 jogou (T2) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S2),
e assim por diante, até o oitavo jogador:
a quantidade de tempo que o atleta 8 jogou (T8) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S8).

Cada atleta jogou a mesma quantidade de tempo (\text{T1} = \text{T2} = \text{T3} = \text{T4} = \text{T5} = \text{T6} = \text{T7} = \text{T8}); logo, o tempo que cada um jogou é (\text{S1} + \text{S2} + \text{S3} + \text{S4} + \text{S5} + \text{S6} + \text{S7} + \text{S8} ) \times 8.

Agora, notamos que na soma \text{S1} + \text{S2} + \text{S3} + \text{S4} + \text{S5} + \text{S6} + \text{S7} + \text{S8} o tempo de jogo de cada equipe de 5 formada é somado 5 vezes. Por exemplo, se os atletas 1, 2, 3, 4 e 5 formaram uma equipe em campo, o tempo que essa equipe jogou foi considerado nas somas S1, S2, S3, S4 e S5. Assim, \text{S1} + \text{S2} + \text{S3} + \text{S4} + \text{S5} + \text{S6} + \text{S7} + \text{S8} = 5 \times 60 = 300, de onde concluímos que o tempo que cada um jogou é 300 \times 8 minutos, o que corresponde a 37 minutos e 30 segundos.

Como curiosidade, observe no diagrama abaixo como poderia ter sido realizada uma partida nos moldes do enunciado:

[Figura: Diagrama com uma linha do tempo horizontal variando de 0 min a 60 min, com intervalos regulares marcados a cada 7 min 30 s (0 min, 7 min 30 s, 15 min, 22 min 30 s, 30 min, 37 min 30 s, 45 min, 52 min 30 s, 60 min). Abaixo, para os Jogadores de 1 a 8, barras pretas horizontais indicam os períodos em que cada jogador atuou, de modo que exatamente 5 jogadores permanecem em campo a cada instante e cada jogador atua por um tempo total de 37 minutos e 30 segundos.]

Outra solução: Imagine que pagamos, em dinheiro, cada atleta proporcionalmente ao tempo que ele jogou. Se ele jogou um tempo T recebe k \times \text{T}. Como, a cada instante, temos 5 atletas em campo, no fim do jogo, teremos que pagar no total k \times 5 \times 60 = 300\text{ k}. Se cada um deles jogou o mesmo tempo, então receberá o mesmo pagamento que os demais. Como são 8 atletas, o soldo de cada um será 300 \times k/8. Para saber quanto tempo ele jogou, basta dividir por k, o que nos fornece (300 \times k) / (8 \times k) = 300/8 minutos.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A ideia é contar o tempo total de jogador em campo, somando o tempo de todos os atletas, e depois dividir igualmente entre eles.

Em cada instante há 5 jogadores em campo. Como a partida dura 60 minutos, o total de "minutos de jogador" é:

5 \times 60 = 300\ \text{minutos}

Esse total é dividido igualmente entre os 8 atletas inscritos:

\frac{300}{8} = 37{,}5\ \text{minutos}

Convertendo a parte decimal para segundos: 0{,}5\ \text{min} = 30\ \text{s}.

Logo, cada atleta jogou 37 minutos e 30 segundos.

Conferindo: 8 \times 37{,}5 = 300, que é o total de minutos em campo. Está correto.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AParece vir de dividir 60 por 2 e subtrair, ou de erro de conta; não bate com 300 \div 8.
BConsidera só metade da partida (60 ÷ 2), ignorando que são 5 em campo e 8 atletas.
DUsa 5 \times 60 \div 7{,}5 ou arredonda; 8 \times 40 = 320 excede os 300 minutos disponíveis.
EDaria 8 \times 42{,}5 = 340 minutos, mais que os 300 minutos totais em campo.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Unidades de medida e conversões.

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Questão 19 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗