Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Vânia preencheu os quadradinhos da conta abaixo com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Ela usou todos os algarismos e obteve o maior resultado possível. Qual foi esse resultado?

\square\,\square\,\square + \square\,\square - \square\,\square\,\square

A
402
B
609
C
618
D
816
E
876

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Vânia preencheu os quadradinhos da conta abaixo com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Ela usou todos os algarismos e obteve o maior resultado possível. Qual foi esse resultado?

\square\,\square\,\square + \square\,\square - \square\,\square\,\square

A
402
B
609
C
618
D
816
E
876

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para obter o maior resultado possível, devemos fazer com que os termos que contribuem positivamente na conta sejam os maiores possíveis e o termo que contribui negativamente seja o menor possível. Como estamos usando o sistema de numeração posicional decimal, na primeira parcela da conta devemos colocar o maior dos algarismos disponíveis na casa das centenas (o algarismo 8):

\boxed{8}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

A seguir, colocamos o segundo maior algarismo na casa das dezenas (o 7). Há duas possibilidades:

\boxed{8}\ \boxed{7}\ \boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

ou

\boxed{8}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}} + \boxed{7}\ \boxed{\phantom{0}} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

Agora, em cada uma dessas possibilidades, colocamos o algarismo 6, ainda na casa das dezenas:

\boxed{8}\ \boxed{7}\ \boxed{\phantom{0}} + \boxed{6}\ \boxed{\phantom{0}} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

ou

\boxed{8}\ \boxed{6}\ \boxed{\phantom{0}} + \boxed{7}\ \boxed{\phantom{0}} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

Continuando, precisamos colocar os algarismos 4 e 5; na primeira das possibilidades acima, há duas maneiras de fazer isto:

\boxed{8}\ \boxed{7}\ \boxed{5} + \boxed{6}\ \boxed{4} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

ou

\boxed{8}\ \boxed{7}\ \boxed{4} + \boxed{6}\ \boxed{5} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

e, no outro caso, também há duas possibilidades:

\boxed{8}\ \boxed{6}\ \boxed{5} + \boxed{7}\ \boxed{4} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

ou

\boxed{8}\ \boxed{6}\ \boxed{4} + \boxed{7}\ \boxed{5} - \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}\ \boxed{\phantom{0}}

Basta agora completar o termo negativo com os algarismos 1, 2 e 3. Em suma, o maior resultado possível pode ser obtido de quatro maneiras diferentes:

\boxed{8}\ \boxed{7}\ \boxed{5} + \boxed{6}\ \boxed{4} - \boxed{1}\ \boxed{2}\ \boxed{3}

\boxed{8}\ \boxed{7}\ \boxed{4} + \boxed{6}\ \boxed{5} - \boxed{1}\ \boxed{2}\ \boxed{3}

\boxed{8}\ \boxed{6}\ \boxed{5} + \boxed{7}\ \boxed{4} - \boxed{1}\ \boxed{2}\ \boxed{3}

\boxed{8}\ \boxed{6}\ \boxed{4} + \boxed{7}\ \boxed{5} - \boxed{1}\ \boxed{2}\ \boxed{3}

e o resultado final da conta é sempre o mesmo: 816.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A conta é \square\square\square + \square\square - \square\square\square, com 8 posições e os 8 algarismos de 1 a 8, cada um usado uma vez. O que decide o resultado é o "peso" de cada posição:

centena do 1º número: +100;
dezena do 1º número e dezena do número de dois algarismos: +10 cada;
unidade do 1º número e unidade do número de dois algarismos: +1 cada;
centena do número subtraído: -100;
dezena do número subtraído: -10;
unidade do número subtraído: -1.

Para o resultado ser o maior possível, os algarismos grandes devem ficar nas posições positivas, e os pequenos nas negativas, com o maior peso recebendo o algarismo mais extremo.

Subtraído: os menores algarismos, 1, 2 e 3, com o 1 na centena. Ele vale 123.
Centena do 1º número: o maior algarismo, 8.
Dezenas positivas: 7 e 6.
Unidades positivas: 5 e 4.

Uma montagem possível é 875 + 64 - 123.

875+64-123 = 939-123 = 816

Como só importa quais algarismos ficam em cada tipo de posição, trocar 7 com 6 ou 5 com 4 não altera o valor.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor baixo demais, resulta de uma distribuição ruim dos algarismos, com algarismos grandes na subtração.
BNão corresponde a nenhuma distribuição ótima; a conta fica abaixo do máximo.
CTambém menor que o máximo, vem de colocar algarismos pequenos nas dezenas positivas ou grandes no subtraído.
EPassa do máximo possível: 876 exigiria usar algarismos repetidos ou ignorar a subtração.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗