Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Cecília digitou 6 algarismos, mas o visor mostrou só 4: 2, 0, 1, 7. Os dois que sumiram são dois 9, e os outros quatro apareceram na mesma ordem em que foram digitados.

Então o número digitado é formado pelos algarismos 2, 0, 1, 7 (nessa ordem) e por dois 9 colocados em algum lugar. Contar as possibilidades é escolher em quais posições, entre as 6, ficam os dois 9. As outras 4 posições ficam preenchidas por 2, 0, 1, 7, nessa ordem, sem escolha adicional.

1. Há 6 posições e precisamos escolher 2 delas para os 9.
2. A ordem da escolha não importa, pois os dois 9 são iguais. Logo é uma combinação:

3. Cada escolha de posições gera um número diferente. Por exemplo, 992017, 929017, 920917 e assim por diante. Não há repetição de números.

Observação: o 9 não é zero à esquerda, então não há restrição quanto ao primeiro algarismo. Todos os 15 números têm seis algarismos válidos.

Portanto, são 15 possibilidades.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só 6, o número de posições, sem escolher o par de posições dos 9.
• BValor sem justificativa; não corresponde a C_{6,2}.
• CCorresponde a C_{5,2}, como se houvesse só 5 posições.
• EUsa 3\cdot 6 ou outra contagem que distingue os dois 9, que são iguais.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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