Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Na conta armada, cada letra representa um algarismo, e letras diferentes representam algarismos diferentes. Qual é o algarismo que a letra T representa?

\begin{array}{ccccc} & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ + & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ \hline & \text{A} & \text{G} & \text{U} & \text{A} \end{array}

A
0
B
1
C
3
D
5
E
7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Na conta armada, cada letra representa um algarismo, e letras diferentes representam algarismos diferentes. Qual é o algarismo que a letra T representa?

\begin{array}{ccccc} & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ + & \text{G} & \text{O} & \text{T} & \text{A} \\ \hline & \text{A} & \text{G} & \text{U} & \text{A} \end{array}

A
0
B
1
C
3
D
5
E
7

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na conta, temos: 5 \times \text{GOTA} = \text{AGUA}; olhando para as casas das unidades, como A é um algarismo, concluímos que A = 0 ou A = 5.

Como o resultado AGUA começa com A, então A = 5, pois senão G = 0; além disso, zeros à esquerda de um número não são escritos.

Olhamos agora para as casas dos milhares. Temos que 5 \times G \le A. Como A = 5 e G é um algarismo diferente de zero, então G = 1. Deste modo, até agora, a conta tem o seguinte aspecto:

[Figura: Algoritmo da adição de cinco parcelas iguais a 1OT5, com o algarismo 2 acima da coluna da letra T, resultando em 51U5.]

O algarismo que O representa só pode ser igual a 0. Não pode ser igual a 1 pois letras diferentes representam algarismos diferentes e não pode ser maior do que 1 pois não existe o transporte de valores das centenas para a casa dos milhares (o “vai um”), já que 5 \times G = 5 \times 1 = 5 = A.

Analisando agora a casa das dezenas, concluímos que 10 \le 5 \times T + 2 < 20, pois deve haver o transporte de uma unidade da casa das dezenas para a das centenas, já que 5 \times O + 1 = 5 \times 0 + 1 = 1 = G.

Assim, só há duas possibilidades para T: ou T = 2 ou T = 3.

Se T = 2, então 5 \times T + 2 = 12 e U = T = 2, teríamos algarismos iguais para letras diferentes e essa possibilidade não serve.

Se T = 3, então 5 \times T + 2 = 17, de onde se conclui que U = 7. Esta é a solução procurada e a conta completa é a seguinte:

[Figura: Algoritmo da adição de cinco parcelas iguais a 1035, com o algarismo 1 sobre a coluna dos zeros e o algarismo 2 sobre a coluna dos algarismos 3, resultando em 5175.]

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Resolução comentada

Como as cinco parcelas são iguais, a conta diz que 5\times \text{GOTA}=\text{AGUA}.

Algarismo das unidades: 5\times A termina em A, então A=0 ou A=5. Como A é o primeiro algarismo do resultado, não pode ser 0. Logo A=5.
Valor de G: o resultado tem 4 algarismos e começa com 5, então 5\times\text{GOTA}<6000. Isso dá \text{GOTA}<1200, e como GOTA tem 4 algarismos, G=1. Temos então 5\times\text{1OT5}=\text{51U5}.
Equação: 5\times(1005+100O+10T)=5025+500O+50T, e \text{51U5}=5105+10U. Igualando e dividindo por 10:

50O+5T-8=U
Valor de O: U é um algarismo, então 50O+5T-8\le 9. Se O\ge1, o lado esquerdo passa de 9 (e O=1 repetiria o G). Logo O=0 e U=5T-8.
Valor de T: com U=5T-8 entre 0 e 9, só servem T=2 (U=2, repete a letra) e T=3 (U=7). Fica T=3.

Conferindo: 1035\times5=5175, que tem a forma AGUA, com A=5, G=1, U=7.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AT=0 daria U=-8 na equação, e O=0 já ocupa o algarismo 0.
BO algarismo 1 é o G, e letras diferentes têm algarismos diferentes.
DO algarismo 5 é o A, então T não pode ser 5.
ET=7 daria U=27, que não é algarismo.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗