Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Pelo centro do quadrado da Figura 1 traçam-se duas retas perpendiculares, que o dividem em quatro quadriláteros iguais. Esses quadriláteros são rearranjados em outro quadrado maior, como na Figura 2. Qual é a área do quadrado ABCD da Figura 2?

Figura 1: Quadrado dividido em quatro quadriláteros por duas retas perpendiculares que passam pelo centro, com o lado esquerdo medindo 4 cm na parte superior e 10 cm na parte inferior.

Figura 2: Os quatro quadriláteros rearranjados formando um quadrado maior com um espaço quadrado em branco no centro, de vértices A, B, C e D.

A
16\ \text{cm}^2
B
25\ \text{cm}^2
C
36\ \text{cm}^2
D
49\ \text{cm}^2
E
64\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Pelo centro do quadrado da Figura 1 traçam-se duas retas perpendiculares, que o dividem em quatro quadriláteros iguais. Esses quadriláteros são rearranjados em outro quadrado maior, como na Figura 2. Qual é a área do quadrado ABCD da Figura 2?

Figura 1: Quadrado dividido em quatro quadriláteros por duas retas perpendiculares que passam pelo centro, com o lado esquerdo medindo 4 cm na parte superior e 10 cm na parte inferior.

Figura 2: Os quatro quadriláteros rearranjados formando um quadrado maior com um espaço quadrado em branco no centro, de vértices A, B, C e D.

A
16\ \text{cm}^2
B
25\ \text{cm}^2
C
36\ \text{cm}^2
D
49\ \text{cm}^2
E
64\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Ao rearranjarmos os quadriláteros, observamos que os lados com comprimentos conhecidos ficam encostados, com uma das extremidades em comum, como indicado na figura (o segmento menor, em vermelho, torna-se parte do segmento maior, em azul). O comprimento dos lados do quadrado ABCD é a diferença entre os comprimentos desses lados: 10 - 4 = 6\text{ cm}. Portanto, a área desse quadrado é 36\text{ cm}^2.

[Figura: À esquerda, um quadrado dividido em quatro quadriláteros por duas linhas perpendiculares, com segmentos destacados medindo 4 cm (em vermelho) e 10 cm (em azul). À direita, os quadriláteros rearranjados circundando o quadrado central ABCD, com setas azuis associando os lados originais aos lados correspondentes ao redor do quadrado ABCD.]

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Resolução comentada

Na Figura 1, o lado esquerdo do quadrado mede 4+10=14\ \text{cm}. A reta que cruza o lado esquerdo o divide em 4 cm (em cima) e 10 cm (embaixo).\n\nAs duas retas são perpendiculares e passam pelo centro. Por isso, os quatro quadriláteros são iguais e se encaixam por rotação de 90^\circ em torno do centro. Cada ponto onde uma reta corta o lado divide esse lado em 4 cm e 10 cm, e a reta seguinte repete essa divisão no lado vizinho.\n\nNa Figura 2, o quadrado vazio ABCD tem como lado a diferença entre essas duas medidas, pois cada quadrilátero tem um lado de 10 cm e outro de 4 cm que se encostam, e o lado maior ultrapassa o menor:\n\n1. Lado de ABCD: 10-4=6\ \text{cm}.\n2. Área: 6^2=36\ \text{cm}^2.\n\nConferência: o quadrado da Figura 1 tem área 14^2=196\ \text{cm}^2. O quadrado maior da Figura 2 tem a mesma área dos quadriláteros mais o buraco, ou seja, 196+36=232\ \text{cm}^2. Isso é compatível com a construção: os quatro triângulos retângulos de catetos 10 e 4 somam 4\cdot 20=80, e o buraco de 36, de modo que a área do quadrado inclinado fica 116+116... Como o quadrado maior é formado por quadriláteros e buraco, a ideia central é a diferença dos catetos, que dá o lado 6.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa lado 4 cm, que é só um dos segmentos do lado.
BLado 5 não corresponde a nenhuma combinação de 4 e 10.
DLado 7 seria a média de 4 e 10, que não é o que se pede.
ELado 8 não resulta de nenhuma operação coerente com 4 e 10.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗