Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Na figura abaixo, BHEG é um retângulo com BG > BH, e A, C, D, F são pontos médios de seus respectivos lados. Um ponto P desloca-se ao longo da poligonal ABCDEF, partindo de A até o ponto F.

Figura mostrando o retângulo BHEG com os pontos médios A em BG, C em BH, D em HE e F em EG. Um ponto P está sobre o segmento CD, com uma seta indicando seu movimento de A para B, C e P. O triângulo APF está sombreado em cinza.

Qual é o gráfico que melhor representa a área R(x) do triângulo APF em função da distância x percorrida pelo ponto P ao longo dessa poligonal?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Função afim

Na figura abaixo, BHEG é um retângulo com BG > BH, e A, C, D, F são pontos médios de seus respectivos lados. Um ponto P desloca-se ao longo da poligonal ABCDEF, partindo de A até o ponto F.

Figura mostrando o retângulo BHEG com os pontos médios A em BG, C em BH, D em HE e F em EG. Um ponto P está sobre o segmento CD, com uma seta indicando seu movimento de A para B, C e P. O triângulo APF está sombreado em cinza.

Qual é o gráfico que melhor representa a área R(x) do triângulo APF em função da distância x percorrida pelo ponto P ao longo dessa poligonal?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam \overline{AB} = \overline{AG} = a e \overline{EF} = \overline{FG} = b. Estudaremos separadamente a função R(x), dependendo da posição do ponto P na poligonal ABCDEF.

Caso 1) P está no segmento AB: 0 \le x \le a.

[Figura: Poligonal ABCDEF dentro de um retângulo delimitado pelos vértices H, D, E, G, B. O ponto P está no segmento AB, com distância x indicada entre P e A, e o triângulo AFP hachurado em azul. Indica-se o comprimento a no segmento AG e b no segmento FG.]

Como mostra a figura, nesse caso a altura do triângulo relativa à base AP é sempre \overline{FG} = b. Assim, R(x) = \dfrac{b}{2} x.

Caso 2) P está no segmento BC: a \le x \le a+b.

\begin{cases} x = a + s, \\ 0 \le s \le b. \end{cases}

[Figura: Poligonal com o ponto P sobre o segmento vertical BC, a uma distância s do ponto B. O triângulo APF está hachurado em azul, com base no segmento AG de medida a e altura vertical FG de medida b.]

De acordo com a figura, segue que

R(x) = \frac{(b+s)}{2} 2a - \frac{as}{2} - \frac{ab}{2} = a \frac{a+s}{2} + \frac{ab}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{a}{2} x + \frac{a(b-a)}{2}.

Caso 3) P está no segmento CD: a+b \le x \le a+b+\sqrt{a^2+b^2}.

\begin{cases} x = a + b + s, \\ 0 \le s \le \sqrt{a^2+b^2}. \end{cases}

[Figura: Poligonal com o ponto P no segmento inclinado CD, a uma distância s de C. O triângulo APF está hachurado em azul, e há um segmento tracejado vermelho DI perpendicular aos segmentos paralelos CD e AF.]

Na figura, o segmento auxiliar DI é perpendicular aos segmentos paralelos CD e AF. A altura do triângulo AFP relativa à base AF permanece constante, com medida \overline{DI}, logo, a área do triângulo AFP é constante e seu valor é determinado no momento em que P está em C, ou seja,

R(x) = R(a+b) = \frac{a(a+b)}{2} + \frac{a(b-a)}{2} = ab.

Com as informações coletadas nos casos 1, 2 e 3, percebe-se que os únicos gráficos que podem representar a área R(x) são os apresentados em B) e E). No entanto, observamos que, quando o ponto P chega ao final do percurso (ponto F), ou seja, quando x = 2(a+b) + \sqrt{a^2+b^2}, o triângulo AFP degenera no segmento AF, sendo sua área igual a zero. Assim, o gráfico que melhor representa R(x) é o apresentado em E).

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Resolução comentada

Use a área do triângulo como (base · altura)/2, tomando AF como base. AF é fixo, então R depende só da distância de P à reta AF.

Seja BG=2a e BH=2b, com A e F pontos médios de BG e EG. Então A está a distância a de B, e F está na altura b acima de G.

P em AB (de A até B): a altura de P em relação à reta AF cresce de forma linear. Como P se afasta de A ao longo de AB, que não é paralelo a AF, R cresce linearmente a partir de 0.
P em BC: BC é paralelo a GE, e AF é inclinada, então a distância a AF ainda cresce linearmente, mas com outra inclinação. Aqui P se afasta de AF mais depressa, pois BC é perpendicular a AB e o ângulo com AF é maior. Em BC, a altura cresce de b\cdot(algo) mais rapidamente. Assim, o segundo trecho é mais inclinado.
P em CD: CD é paralelo a AF, pois C e D estão na altura b e A e F estão na base, com CD horizontal e AF não horizontal. Corrigindo: C está na altura b e D também, e AF vai da altura 0 até b, então não são paralelos. Mas o segmento CD é paralelo a AF apenas se F tiver altura b e A também; aqui F está na altura b (meio de EG) e A na altura 0. Ainda assim, pela figura, C, D e F ficam na altura b, e CD é paralelo à reta BH e à base do retângulo. Em relação a AF, a distância muda linearmente em CD, mas na figura a região de interesse mostra R constante: como D e C estão na mesma altura e a distância ao ponto fixo F... a conclusão correta é que R fica constante, pois CD é paralelo a AF (pontos médios dos lados: CD une os pontos médios de BH e HE... e AF une os pontos médios de BG e EG, ambos paralelos à diagonal BE... ).

Portanto, em CD, R é constante e máximo.

P em DE e EF: a altura diminui linearmente; em DE a queda é menos inclinada, e em EF (paralelo a BC) a queda é mais inclinada, chegando a 0 em F.

O gráfico tem: subida, subida mais inclinada, patamar, descida, descida mais inclinada até 0.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Amostra um arco no trecho CD, mas R não varia em curva, pois a base AF é fixa e a altura é linear/constante.
Bo segundo trecho é menos inclinado e o gráfico termina com R constante acima de zero, mas R chega a 0 em F.
Ctem pico no primeiro trecho e queda depois, o que não ocorre, pois R só cresce em AB e BC.
Dapresenta um arco no trecho CD e mesma inclinação nos dois últimos trechos, o que não condiz com a geometria.

Assuntos: Função afim, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗