Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Na figura, os ângulos A\hat{B}C e B\hat{C}D medem 120^\circ, o ângulo B\hat{A}D é reto, e os segmentos BC e CD medem 4\text{ cm} e 8\text{ cm}, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero ABCD em \text{cm}^2?

Quadrilátero ABCD com ângulo reto em A, ângulos de 120° em B e C, segmento BC de 4 cm e segmento CD de 8 cm

A
14\sqrt{3}
B
28\sqrt{3}
C
32\sqrt{3}
D
36\sqrt{3}
E
40\sqrt{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Na figura, os ângulos A\hat{B}C e B\hat{C}D medem 120^\circ, o ângulo B\hat{A}D é reto, e os segmentos BC e CD medem 4\text{ cm} e 8\text{ cm}, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero ABCD em \text{cm}^2?

Quadrilátero ABCD com ângulo reto em A, ângulos de 120° em B e C, segmento BC de 4 cm e segmento CD de 8 cm

A
14\sqrt{3}
B
28\sqrt{3}
C
32\sqrt{3}
D
36\sqrt{3}
E
40\sqrt{3}

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Solução oficial da OBMEP

Prolongando-se dois lados do quadrilátero, obtemos um triângulo equilátero de lado 4\text{ cm} e um triângulo retângulo grande DAE que é metade de um triângulo equilátero de lado 12\text{ cm}, como indicado na figura.

Pelo Teorema de Pitágoras, a altura de um triângulo equilátero de lado l é h = \frac{\sqrt{3}}{2} l. Logo,

área de ABCD = (área do triângulo retângulo DAE) - (área do triângulo equilátero CBE) = \frac{6 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{2} - \frac{16\sqrt{3}}{4} = 14\sqrt{3}\text{ cm}^2.

[Figura: Esquema geométrico mostrando o triângulo retângulo DAE com ângulo reto no vértice A, altura DA medindo 6\sqrt{3} e ângulo no vértice D igual a 30^\circ. Linhas tracejadas à esquerda refletem o triângulo retângulo para formar um triângulo equilátero maior de lado 12. Na hipotenusa DE, o ponto C divide-a em segmentos de comprimentos 8 e 4. Na base AE, o ponto B define o segmento BE de comprimento 4, formando o triângulo equilátero CBE de lado 4 e ângulos internos de 60^\circ. O quadrilátero ABCD destacado possui ângulos obtusos de 120^\circ em B e C.]

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Primeiro, o ângulo em D: a soma dos ângulos internos é 360^\circ, então D = 360^\circ - 90^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 30^\circ.

Coloque A=(0,0), com AB no eixo x e AD no eixo y. Seja AB=b, então B=(b,0).

O ângulo em B mede 120^\circ, logo BC forma 60^\circ com o eixo x. Com BC=4:

C=(b+4\cos60^\circ,\ 4\sen60^\circ)=(b+2,\ 2\sqrt3).

No triângulo retângulo formado por D, por C e pela projeção de C no eixo y, o ângulo em D vale 30^\circ e a hipotenusa CD vale 8:

Cateto horizontal: b+2 = 8\sen30^\circ = 4, então b=2.
Cateto vertical: 8\cos30^\circ = 4\sqrt3.
Logo D=(0,\ 2\sqrt3+4\sqrt3)=(0,\ 6\sqrt3).

Os vértices são A(0,0), B(2,0), C(4,2\sqrt3) e D(0,6\sqrt3).

Área pela fórmula de Gauss (shoelace):

\text{Área}=\tfrac12\left|(2\cdot2\sqrt3-0)+(4\cdot6\sqrt3-0)\right|=\tfrac12\cdot28\sqrt3=14\sqrt3.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BÉ o dobro da área correta, pois esquece de dividir por 2 na fórmula de Gauss.
CValor sem relação com os dados; vem de medidas erradas dos lados AB e AD.
DValor sem relação com os dados; vem de medidas erradas dos lados AB e AD.
EValor sem relação com os dados; vem de medidas erradas dos lados AB e AD.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗