Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

O retângulo ABCD foi dividido em nove retângulos menores, alguns deles com seus perímetros indicados na figura. O perímetro do retângulo ABCD é 54\ \text{cm}. Qual é o perímetro do retângulo cinza?

A
15\ \text{cm}
B
19\ \text{cm}
C
20\ \text{cm}
D
22\ \text{cm}
E
24\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O retângulo ABCD foi dividido em nove retângulos menores, alguns deles com seus perímetros indicados na figura. O perímetro do retângulo ABCD é 54\ \text{cm}. Qual é o perímetro do retângulo cinza?

A
15\ \text{cm}
B
19\ \text{cm}
C
20\ \text{cm}
D
22\ \text{cm}
E
24\ \text{cm}

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Solução oficial da OBMEP

1ª solução: O perímetro do retângulo maior ABCD é igual ao perímetro da figura em forma de cruz formada pelos cinco retângulos (os que possuem números marcados em seu interior e o retângulo cinza), como na ilustração ao lado. O perímetro dessa figura é igual à soma das medidas de todos os lados dos quatro retângulos externos, menos as de cada um de seus lados que coincidem com os lados do retângulo cinza. A soma das medidas de todos os lados desses quatro retângulos externos é 16 + 18 + 26 + 14 = 74 e o perímetro da figura em forma de cruz é 54, pois ele é igual ao perímetro do retângulo ABCD. Logo, o perímetro do retângulo cinza é 74 - 54 = 20\text{ cm}.

[Figura: Retângulo ABCD dividido em grade 3×3; os retângulos de cima (16), esquerda (18), direita (14) e baixo (26) têm bordas vermelhas, e o retângulo central é cinza com borda azul.]

2ª solução (exige alguns conhecimentos de Álgebra):

As letras de a até f na figura são as medidas dos lados dos retângulos menores. Calculando o perímetro de cada um dos retângulos menores, temos:

[Figura: Grade 3×3 com dimensões horizontais a, b, c no topo e na base, dimensões verticais d, e, f nas laterais esquerda e direita, números 16, 18, 26 e 14 nas posições norte, oeste, sul e leste, e retângulo central sombreado em cinza.]

\begin{aligned} 2b + 2d &= 16 \\ 2a + 2e &= 18 \\ 2c + 2e &= 14 \\ 2b + 2f &= 26 \\ 2b + 2e &= ? \end{aligned}

O perímetro do retângulo maior ABCD é 2(a + b + c) + 2(d + e + f) = 2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f = 54.

Somando os perímetros dos quatro retângulos ao redor do retângulo central cujas medidas são dadas, temos:

2b + 2d + 2a + 2e + 2c + 2e + 2b + 2f = \underbrace{2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f}_{\text{perímetro do retângulo maior}} + 2b + 2e

Assim, 16 + 18 + 14 + 26 = 54 + 2b + 2e \iff 2b + 2e = 74 - 54 = 20.

Portanto, o perímetro do retângulo cinza é 20 cm.

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Resolução comentada

Chame de x a largura da coluna central e de y a altura da linha central. O retângulo cinza tem perímetro 2x+2y.

As larguras das colunas somam a+x+b e as alturas das linhas somam p+y+q. O perímetro de ABCD dá:

2(a+x+b)+2(p+y+q)=54 \Rightarrow (a+x+b)+(p+y+q)=27

Os quatro retângulos vizinhos do cinza:

Superior central (largura x, altura p): 2x+2p=16, logo x+p=8.
Inferior central (largura x, altura q): 2x+2q=26, logo x+q=13.
Central esquerdo (largura a, altura y): 2a+2y=18, logo a+y=9.
Central direito (largura b, altura y): 2b+2y=14, logo b+y=7.

Somando as quatro equações:

2x+2y+(p+q+a+b)=8+13+9+7=37

Da soma total, a+b+p+q+x+y=27, então p+q+a+b=27-x-y. Substituindo:

2x+2y+27-x-y=37 \Rightarrow x+y=10

O perímetro do cinza é 2(x+y)=20\ \text{cm}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as equações; provavelmente confunde semiperímetro ou erra a soma.
BResultado de erro aritmético ao combinar as somas dos perímetros.
DErro de conta ao subtrair o semiperímetro total (27) da soma 37.
ENão decorre das equações; erro ao isolar x+y.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗