Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

O retângulo ABCD foi dividido em nove retângulos menores, alguns deles com seus perímetros indicados na figura. O perímetro do retângulo ABCD é 54\ \text{cm}. Qual é o perímetro do retângulo cinza?

A
15\ \text{cm}
B
19\ \text{cm}
C
20\ \text{cm}
D
22\ \text{cm}
E
24\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O retângulo ABCD foi dividido em nove retângulos menores, alguns deles com seus perímetros indicados na figura. O perímetro do retângulo ABCD é 54\ \text{cm}. Qual é o perímetro do retângulo cinza?

A
15\ \text{cm}
B
19\ \text{cm}
C
20\ \text{cm}
D
22\ \text{cm}
E
24\ \text{cm}

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Solução oficial da OBMEP

1ª solução: O perímetro do retângulo maior ABCD é igual ao perímetro da figura em forma de cruz formada pelos cinco retângulos (os que possuem números marcados em seu interior e o retângulo cinza), como na ilustração ao lado. O perímetro dessa figura é igual à soma das medidas de todos os lados dos quatro retângulos externos, menos as de cada um de seus lados que coincidem com os lados do retângulo cinza. A soma das medidas de todos os lados desses quatro retângulos externos é 16 + 18 + 26 + 14 = 74 e o perímetro da figura em forma de cruz é 54, pois ele é igual ao perímetro do retângulo ABCD. Logo, o perímetro do retângulo cinza é 74 - 54 = 20\text{ cm}.

[Figura: Retângulo maior ABCD decomposto em grade 3x3 de retângulos, com o retângulo cinza no centro de contorno azul e os quatro retângulos vizinhos contornados em rosa com valores 16 no topo, 18 à esquerda, 14 à direita e 26 na base]

2ª solução (exige alguns conhecimentos de Álgebra):

As letras de a até f na figura são as medidas dos lados dos retângulos menores. Calculando o perímetro de cada um dos retângulos menores, temos:

\begin{aligned} 2b + 2d &= 16 \\ 2a + 2e &= 18 \\ 2c + 2e &= 14 \\ 2b + 2f &= 26 \\ 2b + 2e &= \ ? \end{aligned}

[Figura: Grade 3x3 de retângulos com larguras das colunas a, b, c e alturas das linhas d, e, f; retângulos adjacentes ao central com perímetros 16, 18, 14 e 26, e retângulo central cinza]

O perímetro do retângulo maior ABCD é 2(a + b + c) + 2(d + e + f) = 2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f = 54.

Somando os perímetros dos quatro retângulos ao redor do retângulo central cujas medidas são dadas, temos:

2b + 2d + 2a + 2e + 2c + 2e + 2b + 2f = \underbrace{2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f}_{\text{perímetro do retângulo maior}} + 2b + 2e

Assim, 16 + 18 + 14 + 26 = 54 + 2b + 2e \Leftrightarrow 2b + 2e = 74 - 54 = 20\text{ .}

Portanto, o perímetro do retângulo cinza é 20 cm.

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Resolução comentada

Chame de a, b, c as larguras das três colunas (da esquerda para a direita) e de x, y, z as alturas das três linhas (de cima para baixo). O retângulo cinza tem lados b e y, então seu perímetro é 2(b+y).

O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma de seus lados, então:

Acima do cinza: 2(b+x)=16 \Rightarrow b+x=8.
À esquerda: 2(a+y)=18 \Rightarrow a+y=9.
À direita: 2(c+y)=14 \Rightarrow c+y=7.
Abaixo: 2(b+z)=26 \Rightarrow b+z=13.
Retângulo grande: 2(a+b+c+x+y+z)=54 \Rightarrow a+b+c+x+y+z=27.

Somando as quatro primeiras igualdades:

(b+x)+(a+y)+(c+y)+(b+z)=8+9+7+13=37

O lado esquerdo é (a+b+c+x+y+z)+b+y, ou seja, 27+b+y. Logo:

27+b+y=37 \Rightarrow b+y=10

Perímetro do cinza: 2\cdot 10=20\ \text{cm}.

Alternativa C.

Pegadinha: Confundir b+y=10 (semiperímetro) com o perímetro: esquecer de multiplicar por 2 leva a 10, e não a 20.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum cálculo coerente; o perímetro é 2(b+y)=20, não 15.
BValor sem base nas equações; b+y=10 dá perímetro 20.
DErra a soma das equações; o excesso sobre 27 é b+y=10, e não 11.
EValor sem base nas equações; não resulta de 2(b+y).

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗