Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

Na figura, ABEF é um retângulo e BC = CD = DE. Qual é a razão entre as áreas do pentágono CDGHI e do retângulo ABEF?

Retângulo ABEF com o lado BE dividido em três segmentos iguais por C e D, e com os segmentos AC, BF, AE e DF determinando o pentágono sombreado CDGHI.

A
\frac{2}{15}
B
\frac{1}{6}
C
\frac{1}{8}
D
\frac{3}{10}
E
\frac{1}{12}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, ABEF é um retângulo e BC = CD = DE. Qual é a razão entre as áreas do pentágono CDGHI e do retângulo ABEF?

Retângulo ABEF com o lado BE dividido em três segmentos iguais por C e D, e com os segmentos AC, BF, AE e DF determinando o pentágono sombreado CDGHI.

A
\frac{2}{15}
B
\frac{1}{6}
C
\frac{1}{8}
D
\frac{3}{10}
E
\frac{1}{12}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Retângulo ABEF com base b e altura x. Na base inferior, os pontos C e D dividem o lado BE em três segmentos de comprimento b/3. Os segmentos AC e BF cruzam-se em I, com altura indicada por h e distância ao topo indicada por x-h. As diagonais BF e AE cruzam-se em H, com altura em relação à base indicada por x/2. Os segmentos FD e AE cruzam-se em G. As regiões dos triângulos BCI, GDE, do pentágono CDGHI e a parte superior estão coloridas.]

Sejam x o lado menor do retângulo ABEF, b o lado maior de ABEF e h a altura do triângulo BCI com relação ao lado BC. A área do triângulo BHE é 1/4 da área do retângulo ABEF, ou seja, é igual a b.x/4. A área do retângulo ABEF será denotada por A_{ABEF} e notações análogas serão utilizadas para outras figuras geométricas.

Como os triângulos BIC e FIA são semelhantes,

\frac{h}{x - h} = \frac{b/3}{b} \Rightarrow 3h = x - h \Rightarrow h = \frac{x}{4}

A_{BIC} = A_{GDE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{3} \cdot \frac{x}{4} = \frac{b.x}{24} = \frac{A_{ABEF}}{24}

Portanto,

A_{CDGHI} = \frac{A_{ABEF}}{4} - \frac{A_{ABEF}}{24} - \frac{A_{ABEF}}{24} = \frac{4A_{ABEF}}{24} = \frac{A_{ABEF}}{6}

Logo, \frac{A_{CDGHI}}{A_{ABEF}} = \mathbf{\frac{1}{6}}.

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Resolução comentada

Para não depender das medidas, coloque o retângulo em coordenadas: B=(0,0), E=(3,0), A=(0,1), F=(3,1). Assim C=(1,0) e D=(2,0), e a área do retângulo é 3\cdot 1=3. A razão não depende da altura escolhida, pois ela multiplica as duas áreas.

Equações das retas:

BF: y=\frac{x}{3}
AE: y=1-\frac{x}{3}
AC: y=1-x
DF: y=x-2

Vértices do pentágono, por interseção:

H = BF\cap AE: \frac{x}{3}=1-\frac{x}{3}\Rightarrow x=\frac32, então H=\left(\frac32,\frac12\right).
I = BF\cap AC: \frac{x}{3}=1-x\Rightarrow x=\frac34, então I=\left(\frac34,\frac14\right).
G = AE\cap DF: 1-\frac{x}{3}=x-2\Rightarrow x=\frac94, então G=\left(\frac94,\frac14\right).

Área pelo método do cordão (shoelace), na ordem C, D, G, H, I:

2\cdot\text{Área}=\left|0+\frac12+\frac34+0-\frac14\right|=1,

logo a área do pentágono é \frac12.

Razão: \dfrac{1/2}{3}=\dfrac16.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a área calculada; não sai da área \frac12 dividida por 3.
CCorresponderia a uma área de \frac38 para o pentágono, o que não confere com as coordenadas dos vértices.
DCorresponderia a uma área de 0{,}9, grande demais para a região sombreada.
ECorresponderia a uma área de \frac14, metade da correta; erro típico ao esquecer um trecho na soma do cordão.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Razão e proporção.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗