Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

A professora decidiu premiar, por sorteio, dois dentre os 20 alunos da turma de João. Para o sorteio, 20 bolas com os números dos alunos foram colocadas em uma caixa. A primeira bola sorteada pela professora caiu no chão e se perdeu, sem que ninguém visse seu número. Ela decidiu fazer o sorteio com as bolas restantes. Qual é a probabilidade de que João tenha sido um dos dois alunos sorteados?

Ilustração de uma mesa de madeira com uma caixa de papelão aberta sobre o tampo e uma pequena bola azulada no chão, perto de um dos pés da mesa.

A
\frac{1}{10}
B
\frac{2}{19}
C
\frac{19}{200}
D
\frac{39}{380}
E
\frac{37}{342}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

A professora decidiu premiar, por sorteio, dois dentre os 20 alunos da turma de João. Para o sorteio, 20 bolas com os números dos alunos foram colocadas em uma caixa. A primeira bola sorteada pela professora caiu no chão e se perdeu, sem que ninguém visse seu número. Ela decidiu fazer o sorteio com as bolas restantes. Qual é a probabilidade de que João tenha sido um dos dois alunos sorteados?

Ilustração de uma mesa de madeira com uma caixa de papelão aberta sobre o tampo e uma pequena bola azulada no chão, perto de um dos pés da mesa.

A
\frac{1}{10}
B
\frac{2}{19}
C
\frac{19}{200}
D
\frac{39}{380}
E
\frac{37}{342}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como a bolinha que caiu não foi encontrada, nada se pode afirmar sobre ela, isto é, se ela era de João ou não era, então, tudo se passa como se ela ainda estivesse na caixa. Portanto, a probabilidade de João vencer é de 2 chances em 20, ou seja, 2/20 = 1/10.

Uma outra maneira de resolver o problema é dividi-lo em casos:

Caso 1. A bolinha que caiu era a de João. Neste caso, a probabilidade de João ganhar é 0, sua bolinha nunca será sorteada.

Caso 2. A bolinha que caiu não é a de João. Neste caso, a probabilidade de João ganhar é

\frac{19}{20} \cdot \left(\frac{1}{19} + \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{18}\right) = \frac{1}{10}

De fato, a probabilidade da bolinha não ser a de João é 19/20. Para João ter ganhado, ou isto ocorreu já na primeira retirada (1 bola entre 19 no total) ou isto não ocorreu da primeira vez (com probabilidade 18/19) e a segunda bola retirada foi a de João (com probabilidade 1/18).

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Resolução comentada

A ideia é que a bola perdida foi sorteada ao acaso, então ela é uma bola "qualquer". Há dois casos: a bola perdida é a de João, ou não é.

Probabilidade de a bola perdida ser a de João: \frac{1}{20}. Nesse caso João não pode mais ser sorteado, e a probabilidade é 0.
Probabilidade de a bola perdida não ser a de João: \frac{19}{20}. Sobram 19 bolas, incluindo a de João, e dois alunos serão sorteados entre elas.
Nesse segundo caso, a probabilidade de João estar entre os 2 sorteados de 19 é

\frac{\binom{18}{1}}{\binom{19}{2}}=\frac{18}{171}=\frac{2}{19}.
Juntando os casos:

P=\frac{1}{20}\cdot 0+\frac{19}{20}\cdot\frac{2}{19}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.

O resultado é o mesmo de um sorteio de 2 entre 20 sem perda de bola, pois perder uma bola ao acaso não muda a chance de ninguém. Conferindo: \frac{2}{20}=\frac{1}{10}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana: é a probabilidade condicional (a bola de João não se perdeu), que esquece de ponderar pelo caso em que ela se perdeu.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa só o caso em que a bola de João ainda está na caixa (2 entre 19) e esquece a chance de a bola perdida ser a dele.
CMultiplica \frac{19}{20} por \frac{1}{10}, uma combinação sem sentido do problema.
DValor sem justificativa, de uma soma de frações com denominadores errados (20·19).
EResulta de contas com denominador \binom{19}{2}\cdot 2 ou parecido, sem base no raciocínio por casos.

Assunto: Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗