Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?

Ilustração de cinco garotos com camisetas amarelas, dois deles usando medalhas com fita vermelha no peito.

A
20
B
30
C
60
D
90
E
120

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?

Ilustração de cinco garotos com camisetas amarelas, dois deles usando medalhas com fita vermelha no peito.

A
20
B
30
C
60
D
90
E
120

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Chamando cada participante pela primeira letra de seu nome, as possibilidades de escolha dos 2 premiados são: AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE, ou seja, há 10 possibilidades. As possibilidades de escolha das duas premiações são: Ouro Ouro, Ouro Prata, Ouro Bronze, Prata Ouro, Prata Prata, Prata Bronze, Bronze Ouro, Bronze Prata e Bronze Bronze, ou seja, há 9 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, as diferentes formas de premiação são 10 \times 9 = 90.

Outra solução Existem dois casos a considerar: ou os dois meninos premiados ganharam medalhas iguais, ou ganharam medalhas diferentes.

Se as medalhas são iguais, há 3 possibilidades para as medalhas, a saber, ou as duas são de ouro, ou as duas são de prata, ou as duas são de bronze. Além disso, dos 5 meninos, apenas 2 receberam medalhas, o que pode ocorrer de \frac{5 \times 4}{2} maneiras diferentes (são 5 escolhas para o primeiro e são 4 escolhas para o segundo menino, mas precisamos dividir por 2, para eliminar as repetições, uma vez que para determinar a dupla de premiados, não importa a ordem de escolha dos meninos). Logo, pelo Princípio Multiplicativo, há 3 \times \frac{5 \times 4}{2} = 3 \times 10 = 30 possibilidades para a premiação de dois desses meninos com medalhas iguais.

No segundo caso, se as medalhas recebidas pelos 2 meninos premiados são diferentes, há 3 possibilidades para os tipos de medalhas: ouro e prata; ouro e bronze; e prata e bronze. Em cada uma dessas possibilidades, a mais valiosa será recebida por 1 dos 5 meninos e a outra por um dentre os 4 meninos restantes. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, nesse caso, o número de formas diferentes de premiação é 3 \times 5 \times 4 = 60.

Portanto, pelo Princípio Aditivo, o número total de formas diferentes de ocorrer a premiação é 30 + 60 = 90.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Precisamos contar as formas de escolher quais dois dos cinco foram premiados e qual medalha cada um recebeu.

Escolher os dois premiados entre os 5 participantes. A ordem da escolha não importa (o par Aldo-Beto é o mesmo que Beto-Aldo), então usamos combinação:

C_{5,2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10

Para cada par, distribuir as medalhas. Cada premiado recebe uma única medalha, que pode ser de ouro, prata ou bronze. Como há várias medalhas de cada tipo, os dois podem receber o mesmo tipo. Então cada um tem 3 opções:

3\cdot 3=9

Pelo princípio multiplicativo:

10\cdot 9=90

Outra forma de ver: o primeiro premiado tem 5 pessoas × 3 medalhas = 15 opções, o segundo tem 4 × 3 = 12; isso dá 15\cdot 12=180, mas cada situação foi contada duas vezes (trocando quem é o "primeiro"), logo 180/2=90.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E (120) e a C (60) enganam quem acha que os dois premiados não podem receber o mesmo tipo de medalha; o enunciado diz que há várias de cada tipo.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACalcula 5\cdot 4=20, só escolhendo ordenadamente os premiados e ignorando os tipos de medalha.
BUsa 10\cdot 3=30, dando só uma escolha de medalha, em vez de 3 para cada premiado.
CUsa 10\cdot 6, supondo medalhas diferentes para os dois, mas há várias de cada tipo e podem repetir.
EFaz 20\cdot 6 ou similar, contando a ordem dos premiados duas vezes e restringindo as medalhas.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗