Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

Um casal e seus filhos viajaram de férias. Como reservaram dois quartos em um hotel por 15 noites, decidiram que, em cada noite, dois filhos dormiriam no mesmo quarto de seus pais, e que cada filho dormiria seis vezes no quarto dos pais. Quantos são os filhos do casal?

Ilustração de um carro com uma família no interior estacionado em frente à entrada de um edifício com letreiro escrito HOTEL

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Um casal e seus filhos viajaram de férias. Como reservaram dois quartos em um hotel por 15 noites, decidiram que, em cada noite, dois filhos dormiriam no mesmo quarto de seus pais, e que cada filho dormiria seis vezes no quarto dos pais. Quantos são os filhos do casal?

Ilustração de um carro com uma família no interior estacionado em frente à entrada de um edifício com letreiro escrito HOTEL

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Durante 15 dias o quarto dos pais foi utilizado para dormir pelos filhos 30 vezes, pois, em cada dia, dois filhos dormiram com os pais. Dessas 30 vezes, seis delas foram feitas para cada um dos filhos, conforme consta no enunciado. Logo o número de filhos é 30 \div 6 = 5.

Uma outra maneira de ver isto é observar que na tabela abaixo há 30 espaços em branco e como cada filho deve ocupar seis desses espaços, devemos ter 30 \div 6 = 5 filhos.

Noites	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Par de filhos que dormirá essa noite com os pais
Par de filhos que dormirá essa noite com os pais

Mostramos a seguir uma possível distribuição (obviamente não é a única) dos filhos que dormiriam por noite com o casal, onde simbolizamos os cinco filhos com as letras A, B, C, D, E.

Noites	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Par de filhos que dormirá essa noite com os pais	A	A	A	A	A	A	C	C	C	C	C	C	D	D	D
Par de filhos que dormirá essa noite com os pais	B	B	B	B	B	B	D	D	D	E	E	E	E	E	E

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A ideia é contar de duas maneiras o total de "vagas de filho" no quarto dos pais ao longo da viagem.

Por noite: dois filhos dormem no quarto dos pais. Em 15 noites, o total de vagas ocupadas é 2 \times 15 = 30.
Por filho: cada filho dorme seis vezes no quarto dos pais. Se há n filhos, o total é 6n.

Como os dois jeitos contam a mesma coisa, igualamos:

6n = 30 \Rightarrow n = 5

Conferindo: com 5 filhos, cada noite 2 deles ficam com os pais, o que dá 30 "dormidas" no total. Dividindo igualmente entre os 5 filhos, cada um dorme 30 \div 5 = 6 vezes no quarto dos pais, como diz o enunciado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão resolve 6n=30 corretamente; 6 é o número de vezes por filho, não o número de filhos.
CNão corresponde a nenhuma conta: com 7 filhos seriam 42 dormidas, e não 30.
DCom 8 filhos seriam 48 dormidas, incompatível com 2\times15=30.
ECom 9 filhos seriam 54 dormidas, incompatível com as 30 vagas.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

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