Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Cada par de figuras se cruza em um número máximo de pontos: duas circunferências, 2 pontos; duas retas, 1 ponto; uma reta e uma circunferência, 2 pontos.

Verificando com a figura inicial (2 circunferências e 2 retas): circunferência com circunferência dá 2; reta com reta dá 1; cada reta com cada circunferência dá 2\cdot 2\cdot 2=8. Total: 2+1+8=11, igual ao enunciado. Então a figura já está no máximo.

Agora, com 5 retas e 2 circunferências, todas distintas e na posição que dá o máximo:

1. Circunferência com circunferência: 2 pontos.
2. Reta com reta: \binom{5}{2}=10 pontos.
3. Reta com circunferência: 5\cdot 2\cdot 2=20 pontos.

Total: 2+10+20=32.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só 1 ponto por reta com circunferência ou esquece parte dos pares, ficando bem abaixo do máximo.
• BErra a contagem dos pares de retas ou das retas com circunferências, chegando a um valor menor que o máximo.
• DSuperestima os pares, por exemplo contando 20 pares de retas em vez de 10.
• EExagera bastante a contagem, tratando pares ordenados como se fossem distintos.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Princípio fundamental da contagem.

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