Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Uma dobra a 45^\circ faz a tira mudar de direção em 90^\circ. Como a largura é 3\ \text{cm}, os cantos formados pelas dobras têm medidas ligadas a essa largura.

Imagine uma linha passando pelo meio da tira, no sentido do comprimento. Medir essa linha é o mesmo que medir o comprimento do papel.

Na figura final, a distância horizontal entre as linhas centrais dos lados verticais é a medida indicada de 4\ \text{cm} mais duas meias larguras:

Da mesma forma, a distância vertical entre as linhas centrais dos lados horizontais é:

Assim, uma volta completa pelo meio da moldura corresponde a:

Mas atenção: acompanhando as sucessivas dobras, vemos que as pontas da tira ficam sobrepostas junto ao último canto. Esse trecho adicional tem o comprimento de uma largura da tira, isto é, 3\ \text{cm}, e também precisa ser contado.

Portanto, o comprimento total é:

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C desconsidera o trecho de 3 cm em que as pontas da tira ficam sobrepostas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão contabiliza todos os trechos da tira que ficam nos cantos e nas sobreposições.
• BSubestima o comprimento: apenas a volta pela linha central já mede 30 cm.
• CConta a volta pela linha central, mas esquece os 3 cm adicionais de sobreposição das pontas.
• EAcrescenta 6 cm à volta central, quando a sobreposição adicional mede apenas 3 cm.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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