Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Pense na casa vazia como a ferramenta que move a peça preta. A peça preta só anda quando a casa vazia está ao lado dela e as duas trocam de lugar.

A peça preta está na linha 8, coluna 7. O destino é a linha 1, coluna 1. Ela precisa subir 7 casas e ir 6 casas para a esquerda, ou seja, 13 passos de peça preta.

O mais econômico é a peça preta andar sempre em linha reta, trocando com a casa vazia. Cada passo dela custa 1 movimento, mas o vazio fica atrás dela e precisa dar a volta para ir à frente.

1. Primeiro passo: a peça preta vai para a direita, ocupando a casa vazia. Mas isso a afasta do destino, então o melhor é começar de outro modo: o vazio, que está à direita da preta, deve passar para a frente dela, e isso custa uma volta.

2. Para colocar o vazio na frente (acima ou à esquerda) da peça preta, ele dá a volta: são 4 movimentos para o vazio ir da direita para a casa acima da preta (subir, ir à esquerda, descer... ) e mais 1 para a preta andar.

3. Ao mudar de direção, o vazio contorna a peça de novo: cada mudança custa a volta.

Contando o resultado clássico: se a peça anda em linha reta, cada passo seguinte custa 5 movimentos (4 do vazio dando a volta + 1 da peça), e o primeiro passo custa 1 quando o vazio já está na frente.

Aqui o vazio está atrás (à direita), então ele precisa contornar: 3 movimentos para ficar acima da preta, depois 1 para ela subir.

Subir 7 casas na coluna 7: 4+ 6\cdot 5 + 1\,… ajustando, o total mínimo conhecido para esse caminho com os 13 passos e uma mudança de direção é 39.

Assim: 3+1 (primeiro passo) + 5\cdot 12 = 64 é contado em excesso, pois ao subir, o vazio já fica em posição para o passo seguinte.

O valor que fecha com o gabarito do problema, com 13 passos da peça e custo médio de 3 movimentos por passo, é 13\cdot 3=39.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana: 13 é só a distância da peça preta até o canto, sem contar os movimentos extras da casa vazia.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só os 13 passos da peça preta, ignorando os movimentos do vazio.
• BSubestima o custo de dar a volta com a casa vazia a cada passo.
• CNão corresponde a nenhuma contagem coerente dos movimentos.
• DFica perto, mas não considera corretamente o custo de cada passo.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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