Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2014

Question

Começando com um quadrado de 1 cm de lado, formamos uma sequência de figuras, como na ilustração. Cada figura, a partir da segunda, é formada unindo-se três cópias da anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm, 20 cm e 56 cm. Quanto mede o contorno da Figura 6?

Sequência com quatro figuras geométricas sobre malha quadriculada pontilhada: Figura 1 é um quadrado; cada figura subsequente é formada por três cópias da anterior dispostas nos vértices de um triângulo, com vazios internos e contornos destacados em vermelho, seguidas por reticências.

A
88 cm
B
164 cm
C
172 cm
D
488 cm
E
492 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Começando com um quadrado de 1 cm de lado, formamos uma sequência de figuras, como na ilustração. Cada figura, a partir da segunda, é formada unindo-se três cópias da anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm, 20 cm e 56 cm. Quanto mede o contorno da Figura 6?

Sequência com quatro figuras geométricas sobre malha quadriculada pontilhada: Figura 1 é um quadrado; cada figura subsequente é formada por três cópias da anterior dispostas nos vértices de um triângulo, com vazios internos e contornos destacados em vermelho, seguidas por reticências.

A
88 cm
B
164 cm
C
172 cm
D
488 cm
E
492 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Cada figura é formada por 3 cópias da figura anterior, posicionadas de modo a colocar em contato apenas dois pares de quadradinhos das cópias das figuras. Em consequência, o comprimento do contorno da nova figura é igual a 3 vezes o comprimento do contorno da anterior, menos 4 cm (correspondentes aos lados em contato).

A tabela abaixo dá o comprimento do contorno das sucessivas figuras.

Figura	Contorno (cm)
1	4
2	3 \times 4 - 4 = 8
3	3 \times 8 - 4 = 20
4	3 \times 20 - 4 = 56
5	3 \times 56 - 4 = 164
6	3 \times 164 - 4 = 488

Portanto, o contorno da Figura 6 mede 488 cm.

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Resolução comentada

Os contornos são 4, 8, 20 e 56. Precisamos achar a regra que liga um termo ao seguinte.

Ao juntar três cópias da figura anterior, o contorno total seria 3P se as cópias não se tocassem. Mas elas se encostam em dois pontos de contato (lados em comum), e cada trecho em comum de comprimento c some do contorno duas vezes. Além disso, o vazio no meio cria contorno interno, que também é contado (está em vermelho).

Em vez de deduzir a geometria, vamos testar a regra P_{n+1}=3P_n-4:

3\cdot 4-4=8 ✓
3\cdot 8-4=20 ✓
3\cdot 20-4=56 ✓

A regra vale nos três casos conhecidos. Ela faz sentido: cada figura tem lados de comprimento 2^{n-1}, e as cópias se encostam em trechos de tamanho 1 (cada encontro tira 2 do contorno de cada lado, num total de -4 por montagem).

Continuando:

Figura 5: 3\cdot 56-4=164 cm
Figura 6: 3\cdot 164-4=488 cm

O contorno da Figura 6 mede 488 cm.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E (492) engana quem apenas triplica o contorno anterior, esquecendo de descontar os 4 cm; e a B (164) engana quem para na Figura 5.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito pequeno, não segue a regra 3P-4; parece vir de somar em vez de triplicar.
B164 cm é o contorno da Figura 5, não da Figura 6.
C172 cm não corresponde a nenhum termo da sequência; vem de errar a conta, como 3\cdot164-320.
E492 é 3\cdot 164, esquecendo de subtrair 4.

Assuntos: Sequências e padrões, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 19 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗