Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Cada figura é feita de três cópias da anterior. Ao juntar as cópias, alguns lados se encostam e deixam de fazer parte do contorno. Mas o buraco que se forma no meio também entra no contorno (está em vermelho). Por isso, o melhor caminho é achar a regra pelos valores dados: 4, 8, 20, 56.

Se P_n é o contorno, três cópias dariam 3P_n. Testando:

• 3\cdot 4 = 12 e o contorno é 8: diferença 4.
• 3\cdot 8 = 24 e o contorno é 20: diferença 4.
• 3\cdot 20 = 60 e o contorno é 56: diferença 4.

As três cópias se encostam em dois pares de lados e o buraco central acrescenta lados, mas o resultado líquido é sempre 4 cm a menos. Então a regra é:

Continuando a sequência:

1. P_5 = 3\cdot 56 - 4 = 164
2. P_6 = 3\cdot 164 - 4 = 492-4 = 488

O contorno da Figura 6 mede 488 cm.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B (164 cm) é o contorno da Figura 5, e a E (492 cm) vem de esquecer de subtrair 4 na última etapa.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a regra P_{n+1}=3P_n-4; não corresponde a nenhum termo da sequência.
• BÉ o contorno da Figura 5, não da Figura 6.
• CValor sem relação com a regra; não corresponde a nenhum termo da sequência.
• ETriplica 164 sem subtrair os 4 cm dos lados que se encostam (3\cdot164=492).

Assunto: Sequências e padrões.

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