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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Começando com um quadrado de 1 cm de lado, formamos uma sequência de figuras, como na ilustração. Cada figura, a partir da segunda, é formada unindo-se três cópias da anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm, 20 cm e 56 cm. Quanto mede o contorno da Figura 6?

Sequência de quatro figuras formadas por quadradinhos em uma malha quadriculada. A Figura 1 é composta por um único quadrado de contorno vermelho. A Figura 2 é formada por três quadrados em formato de L (um quadrado inferior esquerdo cinza escuro e dois cinza claro), contornados em vermelho. A Figura 3 reúne três cópias da Figura 2, dispostas de modo a deixar um quadrado vazio no centro, com os contornos das bordas em vermelho. A Figura 4 reúne três cópias da Figura 3 com vazios internos e contornos em vermelho. Ao lado direito há reticências.

  1. A
    88 cm
  2. B
    164 cm
  3. C
    172 cm
  4. D
    488 cm
  5. E
    492 cm
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Contorno de uma figura formada por três cópias da anterior: o perímetro total das três cópias é 3P, mas nos pontos em que elas se encostam parte do contorno some, e surge um buraco no meio, cujo contorno também é vermelho.

Vamos descobrir a regra com os dados: P_1=4, P_2=8, P_3=20, P_4=56.

  1. Testando P_{n+1}=3P_n-4: de 4 sai 12-4=8 ✓.
  2. De 8: 24-4=20 ✓.
  3. De 20: 60-4=56 ✓.

A regra vale para todos os casos dados, então usamos P_{n+1}=3P_n-4.

Continuando:

  • P_5=3\cdot 56-4=164
  • P_6=3\cdot 164-4=492-4=488

O contorno da Figura 6 mede 488 cm.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem triplica o contorno anterior (3·164=492) sem descontar os 4 cm perdidos nos encontros; a B é o contorno da Figura 5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a recorrência; não segue a regra 3P-4.
  • BÉ o contorno da Figura 5, parando um termo antes.
  • CValor sem justificativa na sequência; não resulta da regra P_{n+1}=3P_n-4.
  • EUsa 3\cdot 164 e esquece de subtrair os 4 cm do encaixe das cópias.

Assuntos: Sequências e padrões, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗