Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Cada adesivo cola um lado comum a dois hexágonos, então basta contar os lados comuns da tira.

Na figura, o padrão se repete assim: o hexágono 1 é seguido por um par (2 e 3), depois vem o 4, depois outro par (5 e 6), depois o 7, e assim por diante.

1. Do hexágono 1 ao 4 há 5 adesivos: 1-2, 1-3, 2-3, 2-4 e 3-4.
2. Do 4 ao 7 há mais 5 adesivos, pelo mesmo motivo.
3. Assim, cada grupo de 3 hexágonos novos acrescenta 5 adesivos. Esses grupos sempre terminam em um hexágono de posição 1+3k (1, 4, 7, ...).
4. O último hexágono desse tipo antes de 300 é o de número 1+3\cdot 99=298. Até ele, os adesivos são 99\cdot 5=495.
5. Sobram os hexágonos 299 e 300, que formam o par seguinte, ainda sem o hexágono que o fecharia. O 299 cola só no 298: 1 adesivo. O 300 cola no 298 e no 299: 2 adesivos.

Total: 495+1+2=498.

Confirmação com 8 hexágonos, como na figura: 5+5+1=11 adesivos, o que bate com os pontos desenhados.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só os 99 grupos completos (495) e esquece os adesivos dos hexágonos 299 e 300.
• BAcrescenta apenas 2 adesivos aos 495, contando errado os lados em comum do par final.
• DAcrescenta 4 aos 495, contando lados a mais no par final.
• EAcrescenta 7 aos 495, contando adesivos que não existem no final da tira.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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