Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2014

Question

Quantos são os números ímpares, de cinco algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas é 16 e a soma de todos os algarismos é um múltiplo de 5?

A
90
B
180
C
216
D
360
E
532

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Quantos são os números ímpares, de cinco algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas é 16 e a soma de todos os algarismos é um múltiplo de 5?

A
90
B
180
C
216
D
360
E
532

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como os números devem ser ímpares e como a soma dos algarismos das unidades e das dezenas deve ser igual a 16, os números devem terminar em 79 ou 97 (2 possibilidades). Na casa das dezenas de milhar temos 9 possibilidades, pois os números, tendo cinco algarismos, não podem ter 0 nesta casa. Para a casa das unidades de milhar temos 10 possibilidades (todos os algarismos de 0 a 9) e, para cada uma das escolhas anteriores, podemos escolher o algarismo das centenas de duas maneiras distintas, a fim de que a soma de todos os algarismos do número seja um múltiplo de 5. Logo, há 2 \times 9 \times 10 \times 2 = 360 possibilidades. Para ilustrar porque há duas e só duas maneiras de preencher a casa das centenas de modo que a soma dos algarismos seja um múltiplo de 5, vamos pensar com base na seguinte exemplo:

11 _ 79

em que o traço indica um algarismo que está faltando para que a soma dos cinco algarismos seja um múltiplo de 5. Nessas condições, há duas possibilidades para preencher a casa vazia de 11_79, que são as seguintes: 11279 (observe que 1 + 1 + 2 + 7 + 9 = 20 é múltiplo de 5) e 11779 (neste caso 1 + 1 + 7 + 7 + 9 = 25 também é múltiplo de 5).

Este fenômeno é, de fato, geral, já que o resto da divisão de um número por 5 tem que ser igual a 0, 1, 2, 3, ou 4. Assim, dado qualquer número natural, somando a ele 0, ou 1, ou 2, ou 3 ou 4 sempre encontraremos um (e só um) múltiplo de 5. Uma vez determinado qual dos algarismos 0, 1, 2, 3 ou 4 é o que produz o múltiplo de 5, basta somar 5 a ele para obter um novo algarismo (5, 6, 7, 8 ou 9) para que um novo número de cinco algarismos seja produzido, também com a propriedade de que a soma de seus algarismos seja múltiplo de 5.

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Resolução comentada

Sejam abcde os algarismos, com d = dezenas e e = unidades.

Unidades e dezenas. O número é ímpar, então e é ímpar. Como d+e=16 e cada algarismo vai até 9, as únicas possibilidades são (d,e)=(9,7) e (7,9). Em ambos os casos d+e=16.

Soma total. Precisamos que a+b+c+16 seja múltiplo de 5. Isso equivale a a+b+c deixar resto 4 na divisão por 5, ou seja, a+b+c\in\{4,9,14,19,24\}, com a\ge1 e b,c\ge0.

Contagem de (a,b,c). Fixados a e b, o valor de c (0 a 9) precisa ter resto r tal que a+b+c\equiv 4 \pmod 5. Em cada bloco de 5 valores consecutivos de c há exatamente um com o resto certo, e de 0 a 9 há dois blocos. Logo, para cada par (a,b) existem exatamente 2 valores de c.

Número de pares (a,b): a tem 9 opções (1 a 9) e b tem 10, ou seja, 90 pares.

Trios (a,b,c): 90\times 2=180.

Total. Multiplicando pelas 2 escolhas de (d,e):

180\times 2=360

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem considera só o par (9,7) e esquece (7,9), que também é ímpar na unidade.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconta só os pares (a,b), esquecendo as 2 escolhas de c e as 2 de (d,e).
Besquece que há duas possibilidades para (d,e): (9,7) e (7,9).
Cvalor sem base na contagem correta; não decorre da estrutura do problema.
Evalor sem base na contagem correta; ultrapassa o que as restrições permitem.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Sistemas de numeração.

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Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗