Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2014

Question

Na conta indicada a seguir, as letras X, Y e Z representam algarismos distintos. Qual é o algarismo representado pela letra Z?

\begin{array}{cccccc} & & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} \\ & & \text{Y} & \text{Y} & \text{Y} & \text{Y} \\ + & & \text{Z} & \text{Z} & \text{Z} & \text{Z} \\ \hline & \text{Y} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{Z} \end{array}

A
1
B
3
C
5
D
6
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Na conta indicada a seguir, as letras X, Y e Z representam algarismos distintos. Qual é o algarismo representado pela letra Z?

\begin{array}{cccccc} & & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} \\ & & \text{Y} & \text{Y} & \text{Y} & \text{Y} \\ + & & \text{Z} & \text{Z} & \text{Z} & \text{Z} \\ \hline & \text{Y} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{Z} \end{array}

A
1
B
3
C
5
D
6
E
8

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} \\ & \text{Y} & \text{Y} & \text{Y} & \text{Y} \\ + & \text{Z} & \text{Z} & \text{Z} & \text{Z} \\ \hline \text{Y} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{Z} \end{array}

Observe a soma das unidades. Como 0 < \text{X} + \text{Y} \le 18, temos que \text{X} + \text{Y} = 10, pois \text{X} + \text{Y} + \text{Z} e \text{Z} devem ter o mesmo algarismo na casa das unidades. Segue também que somando-se os números na casa das unidades, “vai um” para a casa das dezenas. A partir da soma das dezenas temos que 1 + \text{X} + \text{Y} + \text{Z} = 11 + \text{Z} e \text{X} devem ter o mesmo algarismo na casa das unidades, isto só é possível se \text{X} = \text{Z} + 1. Observando a casa do milhar, vemos que a soma 1 + \text{X} + \text{Y} + \text{Z} = 11 + \text{Z} deve ser igual ao número com dezena \text{Y} e unidade \text{X}. Logo, \text{Y} = 1 e como \text{X} + \text{Y} = 10, \text{X} = 9. Mas \text{X} = \text{Z} + 1, o que fornece \text{Z} = 8. Assim, a conta apresentada é, de fato,

\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c} & 9 & 9 & 9 & 9 \\ & 1 & 1 & 1 & 1 \\ + & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \hline 1 & 9 & 9 & 9 & 8 \end{array}

Uma outra solução é a seguinte:

Olhando a casa das unidades, concluímos, como antes, que \text{X} + \text{Y} = 10, pois \text{X} + \text{Y} + \text{Z} e \text{Z} devem ter o mesmo algarismo na casa das unidades. Devido à posição da letra \text{Y} no resultado, podemos concluir que \text{Y} = 2 ou \text{Y} = 1, pois \text{X}, \text{Y} e \text{Z} sendo algarismos, são, no máximo, iguais a 9. Vejamos o que ocorre em cada caso:

Se \text{Y} = 2, então \text{X} = 8 e, olhando a casa dos milhares, vemos que 1 + 8 + 2 + \text{Z} = 28, donde \text{Z} = 17, o que é impossível, pois \text{Z} é um algarismo (\text{Z} < 10).

Se \text{Y} = 1, como \text{X} + \text{Y} = 10, então \text{X} = 9 e, olhando novamente a casa dos milhares, vemos que 1 + 9 + 1 + \text{Z} = 19, donde \text{Z} = 8.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada linha é um número com algarismo repetido: XXXX = 1111X, YYYY = 1111Y, ZZZZ = 1111Z. A soma é 1111(X+Y+Z) e o resultado é YXXXZ, um número de 5 algarismos.

Como 1111(X+Y+Z) tem 5 algarismos e vale no máximo 1111\cdot 24 (algarismos distintos somam no máximo 9+8+7=24), temos X+Y+Z \ge 10.
Unidades: X+Y+Z termina em Z, ou seja, X+Y termina em 0. Como são distintos, X+Y=10 (a soma 0 só seria com ambos 0). Então X+Y+Z=10+Z.
Assim a soma é 1111(10+Z)=11110+1111Z.
O resultado é YXXXZ, com Y=1 (primeiro algarismo, pois 1111\cdot(10+Z) está entre 11110 e 21109... precisamos checar). Testando: Z=1 daria Y=1, repetido; então vejamos os valores. Como X+Y=10:

Z=3: 1111\cdot13=14443. Aqui Y=1, X=4, Z=3 e X+Y=5\neq10. Não serve.
Z=5: 1111\cdot15=16665. Y=1, X=6, Z=5, mas X+Y=7\neq10. Não serve.
Z=6: 1111\cdot16=17776. Y=1, X=7, Z=6 e X+Y=8\neq10.
Z=8: 1111\cdot18=19998. Y=1, X=9, Z=8 e X+Y=10. ✓

Conferindo: 9999+1111+8888=19998, que tem a forma YXXXZ=1\,9\,9\,9\,8. Todos os algarismos são distintos.

Logo Z=8.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AZ=1 repetiria o algarismo de Y (Y=1), violando a condição de algarismos distintos.
BZ=3 dá 14443, em que X+Y=5 e não termina em 0, então a coluna das unidades não fecha.
CZ=5 dá 16665, que não tem a forma YXXXZ com X+Y=10.
DZ=6 dá 17776, em que X+Y=8, não 10, então a soma das unidades não termina em Z.

Assunto: Sistemas de numeração.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗