Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Cada face recebe 4 números consecutivos, então as faces são blocos do tipo \{4k+a, ..., 4k+a+3\}. Como são 6 faces e 24 números, cada bloco usa 4 números seguidos que não se repetem com os outros, mas os blocos não precisam começar em 1, 5, 9... Eles podem ser, por exemplo, {1,2,3,4}, {5,...,8}, etc. Como os 24 números são divididos em 6 blocos de 4 consecutivos, os blocos são obrigatoriamente: {1-4}, {5-8}, {9-12}, {13-16}, {17-20}, {21-24}.

Regra dos opostos: o maior de uma face mais o menor da oposta é 25. Se uma face é \{n,\dots,n+3\} e a oposta \{m,\dots,m+3\}, então n+3+m=25 e, pela mesma regra trocada, m+3+n=25. Logo m+n=22.

Os menores são 1, 5, 9, 13, 17, 21. Pares com soma 22: (1,21), (5,17), (9,13).

Opostas: {1-4} e {21-24}; {5-8} e {17-20}; {9-12} e {13-16}.

Na figura, o 23 (bloco 21-24) está na face da frente e o 7 (bloco 5-8) na face lateral direita. A face de cima é diferente dessas duas e não é oposta a nenhuma delas, pois a frente e a direita são adjacentes à de cima. Assim, a face cinza não pode ser {21-24}, {1-4}, {5-8} nem {17-20}. Sobram {9-12} ou {13-16}.

O menor número possível na face cinza é então 9.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A1 está no bloco {1-4}, oposto ao do 23, logo é a face de trás, não a de cima.
• B5 está no bloco do 7, que é a face lateral direita.
• D11 pode estar na face cinza, mas não é o menor número possível, pois o 9 também pode.
• E17 é o bloco {17-20}, oposto ao do 7, ou seja, a face esquerda.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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