Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2013

Question

Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter?

Seis dados empilhados em formato de escada sobre uma superfície de madeira, dispostos em três colunas com alturas de 3, 2 e 1 dados.

A
89
B
95
C
97
D
100
E
108

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter?

Seis dados empilhados em formato de escada sobre uma superfície de madeira, dispostos em três colunas com alturas de 3, 2 e 1 dados.

A
89
B
95
C
97
D
100
E
108

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Solução oficial da OBMEP

A soma de todas as faces de um cubo é 1+2+3+4+5+6+7=21. A soma das faces visíveis é então igual a 6\times 21=126-(\textit{a soma das faces escondidas}). Logo, para que a soma das faces visíveis seja máxima, devemos posicionar os cubos de modo que a soma dos números das faces escondidas seja mínima. Vamos minimizar essa soma considerando um cubo de cada vez, de acordo com a numeração da figura ao lado.

[Figura: Seis cubos apoiados sobre uma mesa formando uma escada, numerados de 1 a 6: o cubo 1 está sobre o 2, que está sobre o 4; o cubo 3 está sobre o 5, ao lado do cubo 2; e o cubo 6 está apoiado na mesa, ao lado do cubo 5.]

Cubo 1: há apenas uma face escondida, que deve ser a de número 1.
Cubos 2 e 4: em cada um há três faces escondidas. Dessas faces, duas são opostas e somam 7; a terceira face deve ser a de número 1. A soma dessas faces é 2\times(1+7)=16.
Cubos3 e 6: em cada um há duas faces vizinhas escondidas, que devem ser as de número 1 e 2 (como esses números não somam 7, as faces correspondentes não são opostas, logo são adjacentes). Essas faces somam 2\times(1+2)=6.
Cubo 5: há dois pares de faces opostas escondidas, que somam 14.

Logo, a soma máxima possível é 126-(1+16+6+14)=126-37=89.

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Resolução comentada

Para maximizar a soma das faces visíveis, podemos minimizar a soma das faces escondidas: as que encostam na mesa ou em outro dado. Ao dar a volta, Elisa vê todas as demais faces.

Cada dado tem soma total

1+2+3+4+5+6=21.

Assim, os seis dados somam 6\cdot21=126, contando também as faces escondidas.

Agora observe as posições na pilha:

Os dois dados inferiores da coluna da esquerda têm escondidas as faces de cima, de baixo e da direita. Cima e baixo somam 7; a face da direita pode valer 1. O mínimo escondido é 8 em cada dado.
O dado do topo da coluna da esquerda esconde apenas a face de baixo, que pode valer 1.
O dado inferior da coluna do meio esconde dois pares de faces opostas: cima/baixo e esquerda/direita. A soma escondida é 7+7=14.
Os dois dados restantes escondem, cada um, duas faces adjacentes. Elas podem valer 1 e 2, pois esses números não são opostos. O mínimo é 3 por dado.

Essas orientações podem ser escolhidas independentemente. Portanto, a menor soma escondida é

2\cdot8+1+14+2\cdot3=37.

A maior soma visível é

126-37=89.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BExigiria soma escondida igual a 31, abaixo do mínimo possível de 37.
CExigiria soma escondida igual a 29, incompatível com as faces em contato.
DExigiria soma escondida igual a 26, menor que o mínimo obrigatório.
EExigiria soma escondida igual a 18, desconsiderando parte das faces ocultas.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗