Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter?

Ilustração de seis dados amarelos empilhados sobre uma mesa em três colunas adjacentes: a primeira com três dados, a segunda com dois dados e a terceira com um dado, formando um formato de escada.

A
89
B
95
C
97
D
100
E
108

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter?

Ilustração de seis dados amarelos empilhados sobre uma mesa em três colunas adjacentes: a primeira com três dados, a segunda com dois dados e a terceira com um dado, formando um formato de escada.

A
89
B
95
C
97
D
100
E
108

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Solução oficial da OBMEP

A soma de todas as faces de um cubo é 1+2+3+4+5+6 = 21. A soma das faces visíveis é então igual a 6 \times 21 = 126 - (\text{\textit{a soma das faces escondidas}}). Logo, para que a soma das faces visíveis seja máxima, devemos posicionar os cubos de modo que a soma dos números das faces escondidas seja mínima. Vamos minimizar essa soma considerando um cubo de cada vez, de acordo com a numeração da figura ao lado.

[Figura: Seis cubos dispostos sobre um plano em formato de escada. À esquerda, uma coluna com três cubos numerados de cima para baixo como 1, 2 e 4; ao centro, uma coluna com dois cubos numerados de cima para baixo como 3 e 5; à direita, no chão, um único cubo numerado como 6.]

Cubo 1: há apenas uma face escondida, que deve ser a de número 1.
Cubos 2 e 4: em cada um há três faces escondidas. Dessas faces, duas são opostas e somam 7; a terceira face deve ser a de número 1. A soma dessas faces é 2 \times (1+7) = 16.
Cubos3 e 6: em cada um há duas faces vizinhas escondidas, que devem ser as de número 1 e 2 (como esses números não somam 7, as faces correspondentes não são opostas, logo são adjacentes). Essas faces somam 2 \times (1+2) = 6.
Cubo 5: há dois pares de faces opostas escondidas, que somam 14.

Logo, a soma máxima possível é 126 - (1+16 + 6 +14) = 126 - 37 = 89 .

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Resolução comentada

Elisa vê as faces da frente, de trás, dos lados e de cima. As de baixo ficam escondidas. Como as faces opostas de um dado somam 7, em cada dado vamos somar os pares de faces opostas visíveis (valem 7) e completar com as faces restantes, que devem ser adjacentes entre si, usando os maiores valores possíveis.

As colunas têm 3, 2 e 1 dados. Os dados visíveis de cada coluna são:

Coluna alta, dado de baixo: frente, trás e lado esquerdo. Soma 7+6=13.
Coluna alta, dado do meio: também frente, trás e esquerda. Soma 13.
Coluna alta, dado de cima: frente, trás, esquerda, direita (a coluna do meio é mais baixa) e topo. Os dois pares opostos dão 7+7=14 e o topo vale 6. Soma 20.
Coluna do meio, dado de baixo: só frente e trás. Soma 7.
Coluna do meio, dado de cima: frente, trás, direita e topo. Os opostos dão 7, e direita e topo são adjacentes, então 6+5=11. Soma 18.
Coluna baixa, único dado: frente, trás, direita e topo. Soma 18.

Total: 13+13+20+7+18+18=89.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BSupera o máximo possível, pois conta faces que não podem ser vistas ou admite valores impossíveis para faces adjacentes.
CSupera o máximo possível, pois conta faces escondidas ou usa valores impossíveis para faces adjacentes.
DSupera o máximo possível, pois conta faces escondidas ou usa valores impossíveis para faces adjacentes.
EÉ a soma de 6 dados completos menos algo, ou seja, conta faces escondidas; passa muito do máximo.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗