Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter?

Ilustração de seis dados cúbicos amarelos empilhados sobre uma mesa de madeira, organizados em três colunas em formato de escada: a primeira com três dados, a segunda com dois dados e a terceira com um dado.

A
89
B
95
C
97
D
100
E
108

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter?

Ilustração de seis dados cúbicos amarelos empilhados sobre uma mesa de madeira, organizados em três colunas em formato de escada: a primeira com três dados, a segunda com dois dados e a terceira com um dado.

A
89
B
95
C
97
D
100
E
108

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Por um erro de revisão, a solução enviada às escolas não correspondia a essa questão. Pedimos desculpas por essa falha.

A soma de todas as faces de um cubo é 1+2+3+4+5+6=21. A soma das faces visíveis é então igual a 6\times 21=126-(\textit{a soma das faces escondidas}). Logo, para que a soma das faces visíveis seja máxima, devemos posicionar os cubos de modo que a soma dos números das faces escondidas seja mínima. Vamos minimizar essa soma considerando um cubo de cada vez, de acordo com a numeração da figura ao lado.

[Figura: Seis cubos apoiados sobre um plano, dispostos em degraus e numerados de 1 a 6. O cubo 4 está na base à esquerda, abaixo do cubo 2, que está abaixo do cubo 1. O cubo 5 está à direita do cubo 4, com o cubo 3 acima dele. O cubo 6 está na base, à direita do cubo 5.]

• Cubo 1: há apenas uma face escondida, que deve ser a de número 1.

• Cubos 2 e 4: em cada um há três faces escondidas. Dessas faces, duas são opostas e somam 7; a terceira face deve ser a de número 1. A soma dessas faces é 2\times(1+7)=16.

• Cubos3 e 6: em cada um há duas faces vizinhas escondidas, que devem ser as de número 1 e 2 (como esses números não somam 7, as faces correspondentes não são opostas, logo são adjacentes). Essas faces somam 2\times(1+2)=6.

• Cubo 5: há dois pares de faces opostas escondidas, que somam 14.

Logo, a soma máxima possível é 126-(1+16+6+14)=126-37=89.

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Resolução comentada

Cada dado tem soma total 1+2+3+4+5+6=21. Nos seis dados, a soma de todas as faces é 6\cdot21=126. Para maximizar a soma visível, precisamos minimizar a soma das faces escondidas, encostadas na mesa ou em outro dado.

Como Elisa dá uma volta na mesa, as faces de trás também são vistas. Pela posição na pilha, temos:

Dado do topo da coluna mais alta: apenas uma face escondida. O menor valor possível é 1.
Dado da direita e dado superior da coluna do meio: cada um tem duas faces escondidas adjacentes. Podemos colocar nelas 1 e 2, somando 3 por dado.
Dois dados inferiores da coluna mais alta: cada um tem três faces escondidas, sendo duas opostas. As opostas somam obrigatoriamente 7; a terceira pode valer 1. Portanto, são 8 por dado.
Dado inferior da coluna do meio: tem quatro faces escondidas, formando dois pares de faces opostas. A soma é 7+7=14.

Assim, a menor soma escondida é

1+2\cdot3+2\cdot8+14=37.

Logo, a maior soma visível é

126-37=89.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BExigiria uma soma escondida de 31, menor que o mínimo possível de 37.
CExigiria uma soma escondida de 29, incompatível com os pares de faces opostas encobertas.
DExigiria uma soma escondida de 26, abaixo do mínimo imposto pelos contatos entre os dados.
EExigiria uma soma escondida de apenas 18, desconsiderando parte das faces encobertas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗