Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2013

Question

Todos os 40 alunos de uma turma responderam sim ou não a duas perguntas: “Você gosta de Português?” e “Você gosta de Matemática?” Responderam sim à primeira pergunta 28 alunos, responderam sim à segunda pergunta 22 alunos, enquanto 5 alunos responderam não às duas perguntas. Quantos alunos responderam sim às duas perguntas?

A
5
B
7
C
13
D
15
E
25

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Todos os 40 alunos de uma turma responderam sim ou não a duas perguntas: “Você gosta de Português?” e “Você gosta de Matemática?” Responderam sim à primeira pergunta 28 alunos, responderam sim à segunda pergunta 22 alunos, enquanto 5 alunos responderam não às duas perguntas. Quantos alunos responderam sim às duas perguntas?

A
5
B
7
C
13
D
15
E
25

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os 40 alunos da sala podem ser divididos em quatro grupos disjuntos:

SS: responderam sim às duas perguntas;
SN: responderam sim à primeira pergunta e não à segunda;
NS: responderam sim à primeira pergunta e não à segunda;
NN: responderam não às duas perguntas.

Na figura ao lado, representamos esquematicamente as informações do enunciado:

[Figura: Esquema de segmentos de reta representando os grupos NS, SS, SN e NN. No topo, uma barra abrangendo todos os quatro grupos indica o total de 40. No meio, os rótulos dos grupos estão dispostos horizontalmente: uma barra sobre NS e SS indica 22; uma barra sobre SS e SN indica 28; e uma barra sobre NN indica 5. Abaixo, uma barra abrangendo NS, SS e SN indica 35.]

os grupos, juntos, formam a turma, que tem 40 alunos;
SS e SN, juntos, têm 28 alunos;
NS e SS, juntos, têm 22 alunos;
NN tem 5 alunos.

Como NN tem 5 alunos, os grupos NS, SS e SN têm, juntos, 40 - 5 = 35 alunos. O diagrama mostra que, se somarmos o número de alunos dos grupos NS e SN com duas vezes o número de alunos do grupo SS, o total será 22 + 28 = 50. Como o número total de alunos desses três grupos é 35, segue que o número de alunos do grupo SS é 50 - 35 = 15.

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Resolução comentada

Este é um problema de dois conjuntos que se sobrepõem. Vamos chamar de P os que gostam de Português e de M os que gostam de Matemática.

Os 5 alunos que responderam não às duas perguntas não estão em nenhum dos conjuntos. Então quem gosta de pelo menos uma das matérias é:

40 - 5 = 35 alunos.

Se somarmos 28 + 22, quem gosta das duas matérias é contado duas vezes. Por isso, a fórmula é:

n(P \cup M) = n(P) + n(M) - n(P \cap M)

Substituindo: 35 = 28 + 22 - n(P \cap M).
Então 35 = 50 - n(P \cap M).
Logo n(P \cap M) = 50 - 35 = 15.

Conferindo: só Português = 28 - 15 = 13; só Matemática = 22 - 15 = 7; as duas = 15; nenhuma = 5. Total: 13 + 7 + 15 + 5 = 40. ✓

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas B e C são os valores 'só Matemática' e 'só Português', que aparecem no meio da conta e enganam quem não termina o raciocínio.

Por que as outras alternativas estão erradas

ARepete o número de alunos que não gostam de nenhuma das duas matérias.
BÉ o número de alunos que gostam só de Matemática (22-15), não dos que gostam das duas.
CÉ o número de alunos que gostam só de Português (28-15).
EResulta de 28+22-40+\ldots mal feito, ignorando os 5 que responderam não às duas; 40-15 também não corresponde ao pedido.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Questão 17 no caderno Nível 1 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗