Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

Para a decoração da festa junina, Joana colocou em fila 25 bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, sem nunca deixar que duas bandeirinhas de mesma cor ficassem juntas. O que podemos concluir, com certeza, dessa informação?

Ilustração com quatro crianças dançando quadrilha de festa junina à noite, sob a lua, estrelas e um varal de bandeirinhas coloridas.

A
Nas extremidades da fila aparecem uma bandeirinha azul e uma branca.
B
Há cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.
C
Há pelo menos uma bandeirinha branca ao lado de uma verde.
D
Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca de cada lado.
E
Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas de cores todas diferentes.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Para a decoração da festa junina, Joana colocou em fila 25 bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, sem nunca deixar que duas bandeirinhas de mesma cor ficassem juntas. O que podemos concluir, com certeza, dessa informação?

Ilustração com quatro crianças dançando quadrilha de festa junina à noite, sob a lua, estrelas e um varal de bandeirinhas coloridas.

A
Nas extremidades da fila aparecem uma bandeirinha azul e uma branca.
B
Há cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.
C
Há pelo menos uma bandeirinha branca ao lado de uma verde.
D
Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca de cada lado.
E
Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas de cores todas diferentes.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para simplificar, no parágrafo a seguir “azul” significa “bandeirinha azul” e analogamente para as outras cores.

Para que não haja azuis juntas, é necessário que entre duas azuis haja pelo menos uma bandeirinha de outra cor. Para isso, são necessárias pelo menos 24 bandeirinhas não azuis; como há exatamente 14 + 10 = 24 bandeirinhas brancas e verdes, concluímos que a fila de bandeirinhas começa e termina com uma azul e que entre quaisquer duas azuis há exatamente uma branca ou uma verde. Em particular, as alternativas A) e C) são falsas.

Usando as letras A, B e V para as cores azul, branco e verde, a fila abaixo mostra que a alternativa D) é falsa:

ABABABABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABA

Vamos agora pensar em uma fila qualquer como uma sequência de blocos de duas letras dos tipos AB e AV, com uma letra A na extremidade direita. Pelo menos um bloco AB deve estar ao lado de um bloco AV, criando assim um bloco maior ABAV ou AVAB. Em qualquer dos casos, vemos uma sequência (BAV ou VAB) de três bandeirinhas de cores todas diferentes, o que mostra que a alternativa E) é falsa.

Finalmente, notamos que uma fila da Joana há 14 blocos AB e 10 blocos AV, além do A à direita. Com esses 10 blocos AV é possível separar no máximo 11 blocos AB uns dos outros; assim, há pelo menos dois blocos AB consecutivos, seguidos de uma letra A. Logo em qualquer fila da Joana há um bloco do tipo ABABA, ou seja, há pelo menos cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.

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Resolução comentada

Há 25 bandeirinhas azuis e 14+10=24 de outras cores. Para que as azuis não fiquem juntas, precisamos colocar pelo menos uma bandeirinha entre cada par de azuis consecutivas.

Como existem exatamente 24 espaços entre as 25 azuis, todas as brancas e verdes são usadas nesses espaços, uma em cada um. Portanto, a fila necessariamente tem o formato

\text{azul, outra, azul, outra,}\ldots\text{azul}.

Agora observe apenas a sequência das 24 bandeirinhas não azuis: são 14 brancas e 10 verdes. As 10 verdes delimitam, no máximo, 11 espaços para distribuir as brancas: antes da primeira verde, entre as verdes e depois da última.

Se cada espaço tivesse no máximo uma branca, caberiam apenas 11 brancas. Como há 14, algum espaço contém pelo menos duas brancas consecutivas nessa sequência reduzida.

Na fila original, essas duas brancas estão separadas por uma azul e também têm azuis nas posições externas. Assim, encontramos cinco bandeirinhas consecutivas com as cores

\text{azul, branca, azul, branca, azul},

sem nenhuma verde. É isso que podemos garantir.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D pode enganar quem calcula 14 − 10, esquecendo que 10 verdes delimitam 11 espaços para as brancas, e não 10.

Por que as outras alternativas estão erradas

AAs duas extremidades são necessariamente azuis, pois todas as outras cores ficam entre as azuis.
CBrancas e verdes nunca ficam lado a lado: sempre há uma azul entre elas.
DÉ possível distribuir as cores de modo que apenas três azuis tenham uma branca de cada lado.
EUma passagem de branca para verde na sequência não azul produz um trio branca, azul e verde na fila original.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 19 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗