Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B
Pedro é marido de Cláudia.
C
Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros.
D
Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E
Vitor é marido de Bianca.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B
Pedro é marido de Cláudia.
C
Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros.
D
Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E
Vitor é marido de Bianca.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos representar as informações do enunciado no diagrama ao lado. [Figura: Diagrama com vértices representando pessoas: Pedro (em vermelho), Vitor (em verde), Lorena (em vermelho), Cláudia (em verde), Bianca (em azul) e H (em azul). Flechas direcionadas conectam os nomes com números: de Bianca para Lorena e para Cláudia; de Bianca para H (+4); de Cláudia para Lorena (+1); de Cláudia para Pedro (+5); de Lorena para Vitor (+3); de Lorena para Pedro (+4); de Vitor para Pedro (+1); e de H para Pedro.] Nele, a letra H indica o único homem cujo nome não aparece no enunciado. A flecha que vai de Cláudia a Pedro, marcada com +5, quer dizer que Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, e analogamente para as outras flechas. As flechas que saem de Bianca para Lorena e Cláudia indicam que ambas compraram mais livros que Bianca. Mais abaixo vamos explicar as flechas que não correspondem a dados do enunciado.

Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e cada homem comprou 4 livros a mais que sua esposa, segue que Pedro não é o marido de Cláudia. Por outro lado, Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, que comprou mais livros que Bianca; logo Pedro não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Lorena. Indicamos essa conclusão no diagrama colocando os nomes de Pedro e Lorena em vermelho e marcando a flecha que os liga com +4.

Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e 4 livros a mais que Lorena, segue que Lorena comprou 1 livro a mais que Cláudia, o que nos dá a flecha que liga Cláudia a Lorena. As flechas que ligam Cláudia a Vítor passando por Lorena mostram que Vítor comprou 4 livros a mais que Cláudia; como Cláudia comprou mais livros que Bianca, segue que Vítor comprou pelo menos 5 livros a mais que Bianca. Logo Vítor não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Cláudia; indicamos essa conclusão colocando seus nomes em verde. Logo Bianca é a mulher de H; assim, ligamos esses dois por uma flecha com +4 e colocamos seus nomes em azul.

Notamos ainda que Pedro comprou pelo menos 6 livros a mais que Bianca; como H comprou 4 livros a mais que Bianca, segue que Pedro comprou mais livros que H.

Finalmente, observamos que como Pedro comprou 4 livros a mais que Lorena e Vítor comprou 3 livros a mais que Lorena, segue que Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor, conforme indicado. Podemos agora analisar as alternativas:

A) Falsa, pois Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor.
B) Falsa, pois Pedro é o marido de Lorena.
C) Verdadeira, pois Pedro comprou mais livros que Vítor e que H.
D) Falsa, pois Lorena comprou um livro a mais que Cláudia.
E) Falsa, pois Vitor é marido de Cláudia.

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Resolução comentada

Cada homem comprou 4 livros a mais que a esposa. Vitor comprou 3 a mais que Lorena, então Lorena não é esposa dele. Pedro comprou 5 a mais que Cláudia, então Cláudia não é esposa dele.

As mulheres são Lorena, Cláudia e Bianca. Bianca comprou 3 livros, e Lorena e Cláudia compraram mais que 3, ou seja, pelo menos 4.

Os maridos são Vitor, Pedro e um terceiro homem. Vitor não é casado com Lorena e Pedro não é casado com Cláudia. Vamos testar as possibilidades:

Se Vitor fosse marido de Cláudia, Pedro seria marido de Lorena ou de Bianca.
Sendo L e C os livros de Lorena e Cláudia, temos V = L+3 e P = C+5.
Se Vitor é marido de Bianca: V = 3+4 = 7, logo L = 4. Pedro é marido de Lorena (não pode ser de Cláudia): P = 4+4 = 8, logo C = 3. Isso contradiz C > 3.
Então Vitor é marido de Cláudia: V = C+4 e V = L+3, logo L = C+1. Pedro, então, é marido de Lorena ou de Bianca. Com Lorena: P = L+4 = C+5, o que confere com o enunciado. Bianca fica com o terceiro homem.

Assim, Lorena comprou 1 livro a mais que Cláudia. Os valores: C \ge 4, L = C+1, V = C+4, P = C+5.

Conclusão: Pedro comprou C+5, que é mais que V = C+4 e mais que o terceiro marido, que comprou 3+4=7 (pois C+5 \ge 9). Logo Pedro comprou mais livros que todos os maridos.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana por inverter quem comprou um livro a mais: foi Lorena, não Cláudia.

Por que as outras alternativas estão erradas

AVitor comprou C+4 e Pedro C+5, então Vitor comprou menos que Pedro.
BPedro comprou 5 a mais que Cláudia, mas como cada marido comprou 4 a mais que a esposa, Cláudia não pode ser esposa dele.
DÉ Lorena quem comprou um livro a mais que Cláudia, não o contrário.
EVitor é marido de Cláudia; com Bianca haveria contradição, pois Cláudia teria só 3 livros.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗