Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2012

Resolução comentada

São 25 + 14 + 10 = 49 bandeirinhas. Sem duas azuis juntas, as 25 azuis precisam de pelo menos 24 bandeirinhas de outras cores entre elas. Como há 14 + 10 = 24 não azuis, o espaço é exato: as azuis ocupam as posições ímpares (1, 3, ..., 49) e as não azuis ocupam as posições pares.

Assim, a fila é A ? A ? A ... A, com 24 posições "?" preenchidas por 14 brancas e 10 verdes, em qualquer ordem.

Verificando cada alternativa:

• (A) Falsa: as duas extremidades são azuis.
• (B) Falsa: é possível pôr as 10 verdes em posições pares de modo que cada 5 consecutivas contenham uma verde. Por exemplo, em A ? A ? A ? A ? A, as posições pares dentro de qualquer bloco de 5 são 2 ou 3. Mas as verdes podem estar espaçadas de modo a não deixar uma janela de 5 sem verde? Com 24 posições pares e 10 verdes, um arranjo possível é pôr uma verde a cada 2 ou 3 posições pares, e isso cobre todo bloco de 5. Logo não é garantido.
• (C) Verdadeira: cada não azul está entre duas azuis, então brancas e verdes só se tocam entre si nunca; as não azuis ficam separadas por azuis. Então branca ao lado de verde é impossível, e (C) é falsa.
• (D) Considere as 24 posições pares. Cada branca tem azul dos dois lados. Agora olhe as azuis internas (posições 3 a 47, 23 delas), cada uma entre duas não azuis. As 10 verdes ocupam no máximo 20 desses lados, mas há 14 brancas. Cada azul interna tem dois vizinhos entre as 24 posições pares. Entre os 23 pares de vizinhos consecutivos das 24 posições, cada verde pertence a no máximo 2 pares, então no máximo 20 pares contêm verde. Sobram pelo menos 3 pares só de brancas... Refinando: no máximo 20 pares têm verde, logo pelo menos 23 − 20 = 3 azuis ficam entre duas brancas. Isso dá 3, não 4, e se as verdes forem isoladas esse mínimo é atingível. Portanto (D) não é garantida.
• (E) Verdadeira: três consecutivas de cores diferentes exigiriam branca e verde adjacentes à azul, mas azul, branca, azul... Uma tripla com 3 cores seria branca, azul, verde, que existe sempre que uma azul fica entre branca e verde. Como há brancas e verdes, isso ocorre. Então (E) é falsa.

Revendo (D): o mínimo é 3 só com 10 verdes todas isoladas e 14 brancas; mas então verdes separadas por brancas precisam de 9 separadores, e tudo é possível. Reconto: 24 posições, 10 verdes isoladas, 14 brancas. Pares consecutivos: 23. Pares com verde: 20. Pares BB: 3. Logo (D) falha e a única candidata restante é a (B).

Conferindo (B): as verdes ocupam 10 das 24 posições pares. Se houvesse 5 bandeirinhas consecutivas sem verde, bastaria colocar 14 brancas consecutivas nas posições pares. Isso mostra que (B) é possível, não certa; já a opção que vale sempre é que há 5 consecutivas sem verde. Com 14 brancas e 10 verdes nas 24 posições, sempre existe um trecho com brancas em seqüência pelo princípio das casas: 10 verdes dividem as 14 brancas em no máximo 11 grupos, logo algum grupo tem 2 brancas seguidas, isto é, azul, branca, azul, branca, azul: 5 consecutivas sem verde. Portanto (B) é certa.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AAs duas extremidades são azuis, pois as azuis ocupam todas as posições ímpares.
• CBranca e verde nunca ficam adjacentes, pois entre elas sempre há uma azul.
• DO mínimo garantido de azuis entre duas brancas é 3, não 4.
• EBranca, azul, verde é um trio de cores todas diferentes e ocorre necessariamente.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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