Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

Para a decoração da festa junina, Joana colocou em fila 25 bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, sem nunca deixar que duas bandeirinhas de mesma cor ficassem juntas. O que podemos concluir, com certeza, dessa informação?

Ilustração colorida de quatro crianças dançando em uma festa junina à noite, sob um céu com a lua crescente, estrelas e um varal de bandeirinhas coloridas.

A
Nas extremidades da fila aparecem uma bandeirinha azul e uma branca.
B
Há cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.
C
Há pelo menos uma bandeirinha branca ao lado de uma verde.
D
Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca de cada lado.
E
Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas de cores todas diferentes.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Para a decoração da festa junina, Joana colocou em fila 25 bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, sem nunca deixar que duas bandeirinhas de mesma cor ficassem juntas. O que podemos concluir, com certeza, dessa informação?

Ilustração colorida de quatro crianças dançando em uma festa junina à noite, sob um céu com a lua crescente, estrelas e um varal de bandeirinhas coloridas.

A
Nas extremidades da fila aparecem uma bandeirinha azul e uma branca.
B
Há cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.
C
Há pelo menos uma bandeirinha branca ao lado de uma verde.
D
Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca de cada lado.
E
Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas de cores todas diferentes.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para simplificar, no parágrafo a seguir “azul” significa “bandeirinha azul” e analogamente para as outras cores.

Para que não haja azuis juntas, é necessário que entre duas azuis haja pelo menos uma bandeirinha de outra cor. Para isso, são necessárias pelo menos 24 bandeirinhas não azuis; como há exatamente 14 + 10 = 24 bandeirinhas brancas e verdes, concluímos que a fila de bandeirinhas começa e termina com uma azul e que entre quaisquer duas azuis há exatamente uma branca ou uma verde. Em particular, as alternativas A) e C) são falsas.

Usando as letras A, B e V para as cores azul, branco e verde, a fila abaixo mostra que a alternativa D) é falsa:

ABABABABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABA

Vamos agora pensar em uma fila qualquer como uma sequência de blocos de duas letras dos tipos AB e AV, com uma letra A na extremidade direita. Pelo menos um bloco AB deve estar ao lado de um bloco AV, criando assim um bloco maior ABAV ou AVAB. Em qualquer dos casos, vemos uma sequência (BAV ou VAB) de três bandeirinhas de cores todas diferentes, o que mostra que a alternativa E) é falsa.

Finalmente, notamos que uma fila da Joana há 14 blocos AB e 10 blocos AV, além do A à direita. Com esses 10 blocos AV é possível separar no máximo 11 blocos AB uns dos outros; assim, há pelo menos dois blocos AB consecutivos, seguidos de uma letra A. Logo em qualquer fila da Joana há um bloco do tipo ABABA, ou seja, há pelo menos cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.

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Resolução comentada

Há 25 bandeirinhas azuis e 14+10=24 de outras cores. Para separar as 25 azuis, precisamos de pelo menos 24 bandeirinhas: uma entre cada par de azuis consecutivas.

Como temos exatamente essa quantidade, a fila obrigatoriamente tem o formato

A\,X_1\,A\,X_2\,A\,\cdots\,A\,X_{24}\,A,

em que A representa uma azul e cada X_i é uma branca ou verde. Portanto, as duas extremidades são azuis.

Agora observe apenas a sequência das 24 bandeirinhas não azuis. Nela há 14 brancas e 10 verdes. Para que não houvesse duas brancas consecutivas nessa sequência, seriam necessárias pelo menos 13 verdes, uma em cada intervalo entre as 14 brancas. Como existem apenas 10, necessariamente há duas brancas consecutivas nessa sequência.

Voltando à fila original, essas duas brancas estão separadas por uma azul e também têm azuis nas posições externas. Assim, encontramos o trecho

\text{azul — branca — azul — branca — azul}.

São cinco bandeirinhas consecutivas sem nenhuma verde, exatamente o que afirma a alternativa B.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D pode enganar: dez verdes delimitam onze espaços para as brancas, de modo que só três pares de brancas são obrigatórios, não quatro.

Por que as outras alternativas estão erradas

AAs duas extremidades são necessariamente azuis, e não uma azul e uma branca.
CToda bandeirinha branca ou verde tem apenas azuis como vizinhas.
DÉ possível ter apenas três azuis com brancas dos dois lados, distribuindo as brancas em oito blocos simples e três duplos, separados pelas dez verdes.
EUma transição entre branca e verde na sequência das não azuis produz um trecho branca–azul–verde, com três cores diferentes.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗