Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

Cada face de um cubo está dividida em quatro quadrados coloridos de amarelo, azul ou vermelho, de modo que quaisquer dois quadrados com um lado comum têm cores diferentes. A figura ao lado mostra uma planificação desse cubo, com a indicação das cores de quatro quadrados. Quais são as cores dos quadrados indicados com 1 e 2, respectivamente?

A
vermelho e azul
B
azul e azul
C
azul e amarelo
D
vermelho e vermelho
E
vermelho e amarelo

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Cada face de um cubo está dividida em quatro quadrados coloridos de amarelo, azul ou vermelho, de modo que quaisquer dois quadrados com um lado comum têm cores diferentes. A figura ao lado mostra uma planificação desse cubo, com a indicação das cores de quatro quadrados. Quais são as cores dos quadrados indicados com 1 e 2, respectivamente?

A
vermelho e azul
B
azul e azul
C
azul e amarelo
D
vermelho e vermelho
E
vermelho e amarelo

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos indicar o quadrado azul inferior da planificação com o número 3. Observamos que, após a construção do cubo, os quadrados indicados pelos números 1, 2 e 3 terão um vértice comum (destacado na figura), logo terão, dois a dois, um lado comum. Como o quadrado 1 já tem um lado comum com o quadrado amarelo e o quadrado 3 é azul, segue que ele é vermelho. O quadrado 2, tendo então lados comuns com os quadrados 1 e 3, é amarelo.

[Figura: Planificação de um cubo subdividida em quadrados menores. À esquerda, há o quadrado com o número 1, seguido por um quadrado amarelo e um quadrado azul. Abaixo do quadrado azul, há um quadrado vermelho e, abaixo deste, um quadrado azul com o número 3. Na extremidade direita inferior da faixa horizontal, encontra-se o quadrado com o número 2. Três vértices estão destacados com pontos: o canto inferior esquerdo do quadrado 1, o canto inferior esquerdo do quadrado 3 e o canto inferior direito do quadrado 2.]

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Resolução comentada

A imagem enviada está cortada: o enunciado menciona quatro quadrados coloridos, mas só aparecem claramente três. Falta uma informação para confirmar a resposta sem fazer uma suposição.

Se o quadrado abaixo do vermelho for azul, a resolução é a seguinte. Ao fechar o cubo, a face inferior encosta nas faces laterais. É preciso considerar também os lados que passam a se tocar depois da montagem, não apenas os que já estão unidos na planificação.

O quadrado 1 fica com um lado em comum com o amarelo e outro com esse azul da face inferior. Como quadrados vizinhos devem ter cores diferentes, ele só pode ser vermelho.

A primeira e a última face da fileira também se encontram ao fechar o cubo. Assim, o quadrado 2 fica vizinho do quadrado 1 e do mesmo azul da face inferior. Ele não pode ser vermelho nem azul: deve ser amarelo.

Portanto, sob a condição indicada sobre o trecho cortado, temos vermelho e amarelo. Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASe o quadrado abaixo do vermelho é azul, o quadrado 2 não pode ser azul, pois fica vizinho dele.
BOs quadrados 1 e 2 ficam vizinhos ao fechar o cubo e não podem ter a mesma cor.
CSe o quadrado abaixo do vermelho é azul, o quadrado 1 não pode ser azul, pois fica vizinho dele.
DOs quadrados 1 e 2 ficam vizinhos ao fechar o cubo e não podem ser ambos vermelhos.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 18 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗