Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

Quantos são os números naturais entre 0 e 999 nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3?

A
192
B
204
C
217
D
225
E
254

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Quantos são os números naturais entre 0 e 999 nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3?

A
192
B
204
C
217
D
225
E
254

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Podemos pensar nos números naturais entre 0 e 999 como sequências de três algarismos de 000 até 999. Estamos interessados em contar as sequências em que aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3. Para fazer essa contagem, vamos chamar de a o número de sequências em que não aparece o algarismo 3. Essas sequências se dividem em dois tipos: aquelas em que não aparece o algarismo 2 e aquelas em que aparece pelo menos um algarismo 2; denotamos por b e c, respectivamente, o número dessas últimas sequências. Temos claramente a = b + c e queremos calcular c = a - b; basta então calcular a e b. Mas é imediato que a = 9 \times 9 \times 9 (não podemos usar o 3, logo sobram 9 algarismos) e b = 8 \times 8 \times 8 (não podemos usar o 2 e o 3, logo sobram apenas 8 algarismos). Logo c = 9 \times 9 \times 9 - 8 \times 8 \times 8 = 729 - 512 = 217.

a = b + c : \quad \begin{matrix} \textit{sequências} \\ \textit{sem 3} \end{matrix} = \begin{matrix} \textit{sequências sem 3} \\ \textit{e sem 2} \end{matrix} + \begin{matrix} \textit{sequências sem 3} \\ \textit{e com 2} \end{matrix}

c = a - b : \quad \begin{matrix} \textit{sequências sem 3} \\ \textit{e com 2} \end{matrix} = \begin{matrix} \textit{sequências} \\ \textit{sem 3} \end{matrix} - \begin{matrix} \textit{sequências sem 3} \\ \textit{e sem 2} \end{matrix}

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Resolução comentada

Vamos contar os números de 000 a 999 escritos com 3 algarismos (completando com zeros à esquerda). Os zeros à esquerda não atrapalham, pois não são 2 nem 3.

A ideia é usar o complemento: contar os números sem nenhum 3 e tirar os que também não têm nenhum 2.

Sem algarismo 3: cada posição pode receber 9 dígitos (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Total: 9\cdot 9\cdot 9 = 729.
Sem algarismo 2 e sem algarismo 3: cada posição pode receber 8 dígitos. Total: 8\cdot 8\cdot 8 = 512.
Com pelo menos um 2 e nenhum 3: 729 - 512 = 217.

Conferindo os extremos: o 000 está fora da contagem final (não tem 2), e o 999 também (não tem 2). Logo a lista de 000 a 999 não inclui nenhum número indevido; o intervalo "entre 0 e 999" não muda o resultado.

Portanto, há 217 números.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa, não corresponde a nenhuma contagem correta do problema.
BErro de contagem, não resulta de 729-512.
DValor sem relação com o complemento correto; erro de contagem.
EValor sem relação com a contagem; ignora a restrição de não haver algarismo 3.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗