Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Na figura, os segmentos AC, CE e EB têm o mesmo comprimento, os ângulos A\hat{C}E e B\hat{C}D são retos e a área do triângulo CDE é 1. Qual é a área do triângulo ABC?

Triângulo ABC com pontos D e E sobre o segmento AB, formando o triângulo CDE que está sombreado em cinza

A
\sqrt{2}
B
2
C
\sqrt{2} + 1
D
2\sqrt{2}
E
3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura, os segmentos AC, CE e EB têm o mesmo comprimento, os ângulos A\hat{C}E e B\hat{C}D são retos e a área do triângulo CDE é 1. Qual é a área do triângulo ABC?

Triângulo ABC com pontos D e E sobre o segmento AB, formando o triângulo CDE que está sombreado em cinza

A
\sqrt{2}
B
2
C
\sqrt{2} + 1
D
2\sqrt{2}
E
3

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Triângulo ABC com vértices A, B e C, e pontos D e E sobre o lado AB dispostos na ordem A, D, E, B. O triângulo CDE está sombreado em cinza. Os segmentos AC, CE e EB estão identificados com comprimento x. No vértice C, o ângulo DCE é indicado por \alpha e o ângulo ECB por \gamma. No vértice D, o ângulo CDE é indicado por \beta. No vértice B, o ângulo CBA é indicado por \gamma.]

Seja AC = CE = EB = x. Como o triângulo ACE é retângulo em C obtemos, pelo teorema de Pitágoras, AE^2 = x^2 + x^2 = 2x^2, donde AE = x\root{}\relax\re\relax\buildrel\textstyle.\below 0pt{\textstyle\relax}\buildrel\textstyle.\below 0pt{\textstyle\relax}... ops, AE = x\root{}\relax -> não, AE = x\buildrel\textstyle.\below 0pt{\textstyle\relax}\sqrt{2}. Observamos agora que o triângulo EBC é isósceles de base BC; segue que seus ângulos em B e C são iguais. Vamos denotar a medida desses ângulos por \gamma; marcamos também os ângulos \alpha e \beta como na figura. Do fato do triângulo BCD ser retângulo em C, obtemos \alpha = 90^\circ - \gamma e \beta = 90^\circ - \gamma, ou seja, \alpha = \beta. Logo o triângulo CED é isósceles e DE = EC = x.

Os triângulos ABC e CDE têm suas bases AB e DE sobre a mesma reta AB, logo as suas alturas relativamente a essas bases são iguais. Portanto, a razão entre suas áreas é igual a \frac{AB}{DE}. Como AB = AE + EB = x\sqrt{2} + x = x(\sqrt{2} + 1) e DE = x, segue que essa razão é

\frac{\text{área }(ABC)}{\text{área }(CDE)} = \frac{AB}{DE} = \frac{x(\sqrt{2} + 1)}{x} = \sqrt{2} + 1

e como a área do triângulo CDE é igual a 1, concluímos que a área do triângulo ABC é \sqrt{2} + 1.

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Resolução comentada

Seja AC = CE = EB = x. Como A\hat{C}E = 90^\circ, o triângulo ACE é retângulo e isósceles, então AE = x\sqrt{2} e os ângulos C\hat{A}E = C\hat{E}A = 45^\circ.

Como C\hat{E}A = 45^\circ é ângulo externo do triângulo CEB, com EC = EB, temos E\hat{C}B = E\hat{B}C = 22{,}5^\circ.

Como B\hat{C}D = 90^\circ, vem D\hat{C}E = 90^\circ - 22{,}5^\circ = 67{,}5^\circ. No triângulo CDE, o ângulo em E vale 45^\circ, logo o ângulo em D vale 180^\circ - 67{,}5^\circ - 45^\circ = 67{,}5^\circ. Assim ED = EC = x, e o triângulo CDE é isósceles.

Área de CDE, com base DE = x e altura h de C até AB. Como CE = x e o ângulo em E é 45^\circ, h = x\,\sen 45^\circ = \frac{x\sqrt{2}}{2}:

1 = \frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{x\sqrt{2}}{2} = \frac{x^2\sqrt{2}}{4}\ \Rightarrow\ x^2 = 2\sqrt{2}.

O triângulo ABC é retângulo em C apenas se... não; calculamos pela base AB = AE + EB = x\sqrt{2} + x e a mesma altura h:

\text{Área} = \frac{1}{2}\,(x\sqrt{2}+x)\cdot\frac{x\sqrt{2}}{2} = \frac{x^2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{4}.

Como \frac{x^2\sqrt{2}}{4} = 1, a área é \sqrt{2}+1.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a razão correta entre as bases AB e DE; ignora o fator \sqrt{2}+1.
BSupõe que AB vale o dobro de DE, o que não acontece.
DConfunde x^2 = 2\sqrt{2} com a área final.
EValor sem justificativa geométrica; não decorre das razões entre as bases.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗