Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B
Pedro é marido de Cláudia.
C
Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros.
D
Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E
Vitor é marido de Bianca.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B
Pedro é marido de Cláudia.
C
Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros.
D
Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E
Vitor é marido de Bianca.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Diagrama orientado relacionando os personagens Bianca, Cláudia, Lorena, Vitor, H e Pedro (vértice superior). As flechas indicam diferenças na quantidade de livros comprados: Bianca aponta para Lorena, para Cláudia e para H (+4); Cláudia aponta para Lorena (+1) e para Pedro (+5); Lorena aponta para Vitor (+3) e para Pedro (+4); Vitor aponta para Pedro (+1); H aponta para Pedro.]

Vamos representar as informações do enunciado no diagrama ao lado. Nele, a letra H indica o único homem cujo nome não aparece no enunciado. A flecha que vai de Cláudia a Pedro, indicada com +5, quer dizer que Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, e analogamente para as outras flechas. As flechas que saem de Bianca para Lorena e Cláudia indicam que ambas compraram mais livros que Bianca. Mais abaixo vamos explicar as flechas que não correspondem a dados do enunciado.

Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e cada homem comprou 4 livros a mais que sua esposa, segue que Pedro não é o marido de Cláudia. Por outro lado, Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, que comprou mais livros que Bianca; logo Pedro não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Lorena. Indicamos essa conclusão no diagrama colocando os nomes de Pedro e Lorena em vermelho e marcando a flecha que os liga com +4.

Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e 4 livros a mais que Lorena, segue que Lorena comprou 1 livro a mais que Cláudia, o que nos dá a flecha que liga Cláudia a Lorena. As flechas que ligam Cláudia a Vítor passando por Lorena mostram que Vítor comprou 4 livros a mais que Cláudia; como Cláudia comprou mais livros que Bianca, segue que Vítor comprou pelo menos 5 livros a mais que Bianca. Logo Vítor não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Cláudia; indicamos essa conclusão colocando seus nomes em verde. Logo Bianca é a mulher de H; assim, ligamos esses dois por uma flecha com +4 e colocamos seus nomes em azul.

Notamos ainda que Pedro comprou pelo menos 6 livros a mais que Bianca; como H comprou 4 livros a mais que Bianca, segue que Pedro comprou mais livros que H. Finalmente, observamos que como Pedro comprou 4 livros a mais que Lorena e Vítor comprou 3 livros a mais que Lorena, segue que Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor, conforme indicado. Podemos agora analisar as alternativas:

A) Falsa, pois Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor.
B) Falsa, pois Pedro é o marido de Lorena.
C) Verdadeira, pois Pedro comprou mais livros que Vítor e que H.
D) Falsa, pois Lorena comprou um livro a mais que Cláudia.
E) Falsa, pois Vitor é marido de Cláudia.

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Resolução comentada

Os três casais têm três mulheres: Lorena, Cláudia e Bianca. Bianca comprou 3 livros, e Lorena e Cláudia compraram mais que isso, ou seja, pelo menos 4 cada.

Cada homem comprou 4 livros a mais que a própria esposa. Os maridos são Vitor, Pedro e um terceiro homem. Mas Vitor tem 3 a mais que Lorena e Pedro tem 5 a mais que Cláudia, então nenhum deles pode ser marido dessas duas mulheres (a diferença no casal tem de ser 4).

Logo, Vitor e Pedro não são maridos de Lorena nem de Cláudia. As duas mulheres precisam de maridos com diferença 4, e só sobra o terceiro homem para uma delas... Então vamos testar com cuidado:

Vitor não é marido de Lorena (diferença 3, não 4).
Pedro não é marido de Cláudia (diferença 5, não 4).
Três casais: Vitor pode ser marido de Cláudia ou de Bianca; Pedro pode ser marido de Lorena ou de Bianca.

Se Vitor fosse marido de Bianca: Vitor = 3 + 4 = 7, então Lorena = 7 − 3 = 4. Pedro então seria marido de Cláudia (sobra), o que é impossível. Logo Vitor é marido de Cláudia e Pedro é marido de Lorena ou Bianca.

Se Vitor é marido de Cláudia: Cláudia = c, Vitor = c + 4, Lorena = c + 1, Pedro = c + 5 + 0... Pedro = c + 5. Pedro é marido de Lorena: Pedro = (c + 1) + 4 = c + 5. Confere. Então o terceiro homem é marido de Bianca.

Resultado: Cláudia = c, Lorena = c + 1, Vitor = c + 4, Pedro = c + 5. Cláudia comprou 1 livro a menos que Lorena, Pedro comprou mais que Vitor e é marido de Lorena. Entre os maridos, o terceiro tem 3 + 4 = 7 livros; Pedro tem c + 5 ≥ 4 + 5 = 9 (pois Cláudia ≥ 4), então é o maior.

Portanto, Pedro foi o marido que comprou mais livros.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AVitor tem c + 4 livros e Pedro tem c + 5, então Vitor comprou menos.
BPedro é marido de Lorena; com Cláudia a diferença seria 5, não 4.
DCláudia comprou 1 livro a menos que Lorena, não a mais.
EVitor é marido de Cláudia; com Bianca, Pedro ficaria sem esposa possível.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗