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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A figura representa uma pirâmide de base quadrada cujas arestas medem 1 m. Uma formiga e uma aranha estão nas posições indicadas, a 25 cm dos vértices A e B, respectivamente. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer para chegar até a formiga, andando somente sobre as faces triangulares da pirâmide?

Pirâmide de base quadrada com a Formiga posicionada em uma aresta da base próxima ao vértice A e a Aranha em uma aresta lateral próxima ao vértice B

  1. A
    1\text{ m}
  2. B
    \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\text{ m}
  3. C
    \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ m}
  4. D
    \dfrac{\sqrt{5}}{3}\text{ m}
  5. E
    \dfrac{4}{5}\text{ m}
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Resolução comentada

Todas as arestas medem 1 m, então as faces laterais são triângulos equiláteros de lado 1 m. Seja V o vértice do topo.

Pela figura, a formiga está na aresta da base que sai de A, a 25 cm de A. A aranha está na aresta lateral VB, a 25 cm de B. A aresta AB é comum à base e à face VAB, e a aresta VA é comum às faces VAB e VAD (D é o outro vértice da base, onde está a formiga). A formiga está na aresta AD, que pertence à face VAD. Como a aranha só anda sobre faces triangulares, o caminho passa pelas faces VAB e VAD, que têm a aresta VA em comum.

Planificando as duas faces lado a lado, elas formam um losango com ângulo de 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ em A.

  1. Aranha: em VB, a 0{,}25 de B, logo a 0{,}75 de V e a 0{,}25 de B.
  2. Formiga: em AD, a 0{,}25 de A.
  3. Coloque A na origem. Na face VAB, o ângulo em A entre AB e AV é 60^\circ, e na face VAD o ângulo entre AV e AD é 60^\circ. Assim, o ângulo entre AB e AD no plano planificado é 120^\circ.
  4. Seja AB no eixo x: B=(1,0) e V=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}). A aranha está em B+0{,}25(V-B)=(1-0{,}125,\ 0{,}125\sqrt3)=(0{,}875;\ 0{,}125\sqrt3).
  5. AD faz 120^\circ com AB: a formiga está em 0{,}25(\cos120^\circ,\sen120^\circ)=(-0{,}125;\ 0{,}125\sqrt3).

Os dois pontos têm a mesma ordenada, então a distância é a diferença das abscissas: 0{,}875-(-0{,}125)=1 m.

O segmento reto fica dentro das duas faces (passa por VA), então o caminho é válido.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com a planificação; mistura altura do triângulo equilátero com o lado.
  • CÉ apenas a altura de uma face equilátera, não a distância entre os pontos.
  • DValor obtido sem planificar corretamente as faces, sem base geométrica.
  • ESupõe um caminho mais curto do que o segmento real na planificação, que mede 1 m.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Teorema de Pitágoras e relações métricas, Pirâmides e tronco de pirâmide.

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Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗