Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Um grupo de crianças quer comprar pizzas com 12 pedaços cada uma. Três pizzas não são suficientes para que cada menino coma 7 pedaços e cada menina coma 2 pedaços. Por outro lado, quatro pizzas são suficientes para que cada menino coma 8 pedaços, cada menina coma 4 pedaços e ainda sobrem pedaços. Quantas crianças há no grupo?

A
9
B
8
C
7
D
6
E
4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Inequações e desigualdades

Um grupo de crianças quer comprar pizzas com 12 pedaços cada uma. Três pizzas não são suficientes para que cada menino coma 7 pedaços e cada menina coma 2 pedaços. Por outro lado, quatro pizzas são suficientes para que cada menino coma 8 pedaços, cada menina coma 4 pedaços e ainda sobrem pedaços. Quantas crianças há no grupo?

A
9
B
8
C
7
D
6
E
4

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja x o número de meninas e y o número de meninos no grupo. Como 3 pizzas de 12 pedaços cada não são suficientes para que cada menino coma 7 pedaços e cada menina coma 2 pedaços, temos 36 < 2x + 7y. Por outro lado, como 4 pizzas de 12 pedaços cada são suficientes para que cada menino coma 8 pedaços e cada menina coma 4 pedaços, com sobra, temos 4x + 8y < 48. Como 2x + 7y < 4x + 8y e tanto 2x + 7y < 4x + 8y e 2x + 7y < 4x + 8y são números maiores que 36 e menores que 48, temos

(4x + 8y) - (2x + 7y) = 2x + y < 48 - 36 = 12.

A desigualdade 2x + y < 12 mostra que x \le 5. Vamos agora testar a desigualdade 36 - 2x < 7y < 8y < 48 - 4x para os possíveis valores de x. Quando x = 1 temos 34 < 7y < 8y < 44, que tem a solução y = 5; os valores 2, 3, 4 e 5 para x levam, respectivamente, às inequações 32 < 7y < 8y < 40, 30 < 7y < 8y < 36, 28 < 7y < 8y < 32 e 26 < 7y < 8y < 28, todas sem solução inteira para y. Segue que a única solução do problema é x = 5 , y = 1 e assim a quantidade de crianças é x + y = 5 + 1 = 6.

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Resolução comentada

Seja m o número de meninos e f o de meninas. Uma pizza tem 12 pedaços, então três pizzas têm 36 pedaços e quatro têm 48.\n\nPrimeira condição: três pizzas não bastam para 7 pedaços por menino e 2 por menina:\n\n

7m+2f>36

\n\nSegunda condição: quatro pizzas bastam para 8 pedaços por menino e 4 por menina, ainda sobrando pedaços:\n\n

8m+4f<48 \Rightarrow 2m+f<12

\n\nComo m e f são inteiros não negativos, vamos testar os valores possíveis de m:\n\n1. Da segunda condição, f<12-2m, logo f\le 11-2m.\n2. Na primeira, usando o máximo de f: 7m+2(11-2m)=3m+22>36 \Rightarrow m>14/3, ou seja, m\ge 5.\n3. Mas m\le 5 (pois 2m<12), então m=5.\n4. Com m=5: f\le 1. A primeira condição dá 35+2f>36, então f\ge 1. Logo f=1.\n\nVerificação: 7\cdot5+2\cdot1=37>36 (três pizzas não bastam); 8\cdot5+4\cdot1=44<48 (quatro bastam e sobram 4 pedaços).\n\nO grupo tem 5+1=6 crianças.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

A9 crianças não satisfazem as duas desigualdades ao mesmo tempo; não há combinação de meninos e meninas com esse total.
B8 crianças também não resultam em nenhum par (m,f) que respeite as duas condições.
C7 crianças não permitem satisfazer simultaneamente 7m+2f>36 e 2m+f<12.
E4 crianças consomem poucos pedaços e nunca ultrapassariam 36 com 7 e 2 pedaços.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗