Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Queremos números de três algarismos distintos escolhidos entre 1, 4, 6 e 8. Há 4\cdot3\cdot2=24 números.

A ideia é somar posição por posição (centenas, dezenas e unidades). Por simetria, cada algarismo aparece o mesmo número de vezes em cada posição.

1. Fixando um algarismo, por exemplo o 1, na posição das centenas, sobram 3 algarismos para 2 posições: 3\cdot2=6 números. Logo, cada algarismo aparece 6 vezes em cada posição (4\cdot6=24, confere).

2. A soma dos algarismos é 1+4+6+8=19.

3. Em cada posição, a soma dos algarismos que aparecem é 6\cdot19=114.

4. Somando com os valores posicionais:

5. Calculando: 114\cdot111=114\cdot100+114\cdot11=11400+1254=12654.

A soma de todos os números é 12654.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem justificativa; não resulta de 114\cdot111, provavelmente erro de contagem de quantas vezes cada algarismo aparece.
• CNão corresponde a 6\cdot19\cdot111; vem de erro de conta ou de contagem das repetições.
• DValor aproximado que não bate com a soma correta; erro de cálculo na multiplicação por 111.
• EResultado de contagem errada (por exemplo, admitir repetição de algarismos ou outra frequência), não de 114\cdot111.

Assunto: Permutações.

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