Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam?

Ilustração de duas formigas correndo em sentidos contrários sobre o traçado de uma circunferência

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam?

Ilustração de duas formigas correndo em sentidos contrários sobre o traçado de uma circunferência

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos denotar o comprimento da circunferência por \ell, e chamar a formiguinha mais rápida de formiguinha A e a outra de formiguinha B; suas velocidades serão denotadas por v_A e v_B, respectivamente. Como A dá 9 voltas enquanto B dá 6, temos \frac{v_A}{v_B} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}; isto mostra que se A anda uma distância d_A enquanto B anda uma distância d_B, então \frac{d_A}{d_B} = \frac{3}{2}.

Como as formiguinhas andam em sentidos contrários, elas vão se encontrar uma primeira vez em um ponto que chamaremos P_1. Sejam d_A e d_B as distâncias percorridas pelas formiguinhas até que elas se encontrem novamente. Então d_A + d_B = \ell e \frac{d_A}{d_B} = \frac{3}{2}. A segunda expressão nos dá d_A = \frac{3}{2} d_B; substituindo na primeira temos d_B + \frac{3}{2} d_B = \frac{5}{2} d_B = \ell, donde d_B = \frac{2}{5} \ell.

Isto quer dizer que B vai encontrar A, a partir do ponto P_1, cada vez que percorrer uma distância de \frac{2}{5} \ell.

Podemos agora desenhar os pontos em que elas se encontram; além de P_1, eles são (em ordem) P_2, P_3, P_4 e P_5, como na figura (estes pontos são vértices de um pentágono regular inscrito na circunferência). Notamos que após o encontro em P_5 as formiguinhas se encontram novamente em P_1, ou seja, não há mais outros pontos de encontro.

[Figura: Circunferência com cinco pontos marcados como vértices de um pentágono regular: P_1 no topo e, no sentido horário, P_4, P_2, P_5 e P_3.]

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Resolução comentada

Se uma formiga dá 9 voltas enquanto a outra dá 6, as velocidades estão na razão 9:6 = 3:2. Sejam 3v e 2v as velocidades (em voltas por unidade de tempo, a menos de um fator).

Como andam em sentidos contrários, a cada instante a soma dos arcos percorridos por elas é 9 + 6 = 15 voltas no total. Elas se cruzam cada vez que essa soma completa mais uma volta inteira, ou seja, em cada múltiplo de 1 volta.

Número de encontros durante o percurso: 9 + 6 = 15 (cada encontro corresponde a uma volta somada).
Os encontros ocorrem em pontos igualmente espaçados? Sim: entre dois encontros consecutivos, a primeira formiga percorre \frac{9}{15} = \frac{3}{5} de volta.
Os pontos de encontro estão, portanto, deslocados de \frac{3}{5} de volta a cada vez. Como \frac{3}{5} tem denominador 5, depois de 5 encontros o ponto se repete (a posição k\cdot\frac{3}{5} módulo 1 assume só 5 valores).

Assim, os 15 encontros ocorrem em apenas 5 pontos distintos, cada um repetido 3 vezes.

Verificação: \frac{9}{15}=\frac{3}{5} e \text{mdc}(3,5)=1, então realmente aparecem 5 pontos diferentes.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana por usar o mdc(9,6)=3; o número de pontos é (9+6)/3=5, e não o mdc.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde com o caso de velocidades diferentes por fator 2, sem calcular a razão reduzida.
BUsa o mdc(9,6)=3 como número de pontos, quando o número de pontos é 5 (soma 15 dividida por 3).
CNão corresponde a nenhum cálculo correto; ignora que a soma das voltas dividida pelo mdc dá 5.
EUsa o número de voltas da outra formiga (6) em vez de (9+6)/mdc(9,6)=5.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗