Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Na figura, ABCD e AMPN são quadrados e \overgroup{BD} e \overgroup{MN} são arcos de círculos de centro A. Qual é a razão entre a área sombreada e a área do quadrado ABCD?

A
\dfrac{\pi}{4}
B
\dfrac{\pi}{5}
C
\dfrac{\pi}{6}
D
\dfrac{\pi}{7}
E
\dfrac{\pi}{8}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura, ABCD e AMPN são quadrados e \overgroup{BD} e \overgroup{MN} são arcos de círculos de centro A. Qual é a razão entre a área sombreada e a área do quadrado ABCD?

A
\dfrac{\pi}{4}
B
\dfrac{\pi}{5}
C
\dfrac{\pi}{6}
D
\dfrac{\pi}{7}
E
\dfrac{\pi}{8}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Quadrado ABCD com o vértice A no canto inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. A diagonal AC intercepta o vértice P do quadrado menor AMPN, cujos lados AM e AN estão sobre AB e AD, respectivamente. Há dois arcos de circunferência centrados em A: um de raio AM conectando N a M, e outro de raio AB conectando D a B e passando por P. A região entre os dois arcos no interior do quadrado está sombreada.]

Seja \ell o lado do quadrado ABCD. Como \overgroup{BD} é um arco de circunferência com centro A, segue que AP é um raio da circunferência, e portanto AP = AB = \ell. Por outro lado, AP é a diagonal do quadrado AMPN; o teorema de Pitágoras nos diz então que \ell^2 = AM^2 + MP^2. Como AM = MP, segue que \ell^2 = 2AM^2, donde AM^2 = \frac{\ell^2}{2}. A área sombreada é então

\frac{1}{4}\pi AB^2 - \frac{1}{4}\pi AM^2 = \frac{1}{4}\left(\pi \ell^2 - \pi \frac{\ell^2}{2}\right) = \frac{1}{8}\pi \ell^2

e a razão entre esta área e a área do quadrado é

\frac{\frac{1}{8}\pi \ell^2}{\ell^2} = \frac{\pi}{8}.

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Seja \ell o lado do quadrado ABCD. O arco BD tem centro em A e raio \ell, e passa por P, que está na diagonal AC. Logo AP=\ell.

Como AMPN é um quadrado, AP é a diagonal dele. Se x é o lado de AMPN, então AP = x\sqrt{2}, ou seja, x\sqrt{2}=\ell e x^2=\dfrac{\ell^2}{2}.

O arco MN tem centro em A e raio x (passa por M e N).

A região sombreada é o que fica dentro do quarto de círculo de raio \ell e fora do quarto de círculo de raio x, só que a região do quadrado AMPN fora do quarto de círculo menor também está sombreada, e a parte do quarto de círculo maior dentro de AMPN não existe. Vamos fazer por áreas:

Setor grande (raio \ell): \dfrac{\pi \ell^2}{4}.
Setor pequeno (raio x): \dfrac{\pi x^2}{4}=\dfrac{\pi \ell^2}{8}.
A região sombreada é a diferença entre os dois setores, pois os trechos DNP (entre o arco grande e o segmento NP) e MPB (idem) junto com a região entre NP, MP e o arco pequeno completam exatamente a coroa entre os arcos: o quadrado AMPN contém o setor pequeno e o resto do quadrado até P é a parte sombreada entre o arco pequeno e P, enquanto o setor grande, dentro de AMPN, cobre o restante, de modo que o conjunto sombreado é a coroa circular.

Área sombreada:

\frac{\pi \ell^2}{4}-\frac{\pi \ell^2}{8}=\frac{\pi \ell^2}{8}.

Razão com a área \ell^2:

\frac{\pi \ell^2/8}{\ell^2}=\frac{\pi}{8}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ a razão entre o setor grande e o quadrado, sem descontar o setor menor.
BValor sem relação com a geometria; vem de relacionar mal os raios.
CResulta de erro na relação entre o lado do quadrado menor e \ell.
DNão corresponde à diferença dos setores; erro de cálculo com os raios.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗