Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

As quatro paredes do quarto estão fixas (são paredes distintas), então pintar de formas diferentes é atribuir as 4 cores às 4 paredes, uma cor por parede.

Primeiro, o total sem restrição: é uma permutação de 4 cores em 4 paredes.

Agora contamos os casos proibidos, em que azul e rosa ficam em paredes opostas.

1. O quarto tem 2 pares de paredes opostas.
2. Escolhido um par, azul e rosa podem ocupá-lo de 2 modos (azul numa parede e rosa na outra, ou o contrário).
3. Verde e branco vão para as 2 paredes restantes, também de 2 modos.

Casos proibidos: 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

Outra forma de ver: azul pode ir em qualquer das 4 paredes; a rosa não pode ir na oposta, então tem 2 escolhas entre as 3 paredes restantes que não são a oposta... na verdade, sobram 3 paredes e a oposta é proibida, logo 2 opções. Verde e branco ocupam as 2 restantes de 2 modos: 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16.

Conferindo: 24 - 8 = 16, os dois métodos concordam.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece a restrição e responde 4!; a A engana quem para no número de casos proibidos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta apenas os casos proibidos (8) em vez de subtraí-los do total.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta; erro ao subtrair os casos proibidos.
• DSubtrai apenas 4 casos proibidos, esquecendo de contar a troca de posição de verde e branco.
• EÉ o total 4! sem aplicar a restrição de azul e rosa.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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