Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Um quarto tem quatro paredes, formando dois pares de paredes opostas (uma de frente para a outra). As paredes são distintas (cada uma ocupa uma posição), então contamos todas as distribuições das 4 cores nas 4 paredes e tiramos as que colocam azul e rosa frente a frente.

1. Total de maneiras de pintar, sem restrição: 4! = 24, pois são 4 cores diferentes em 4 paredes.

2. Maneiras com azul e rosa em paredes opostas:

• Escolhemos o par de paredes opostas para azul e rosa: são 2 pares possíveis.
• Dentro do par, azul e rosa podem trocar de lugar: 2 maneiras.
• Verde e branco ficam nas outras duas paredes, também trocáveis: 2 maneiras.

Total proibido: 2 \times 2 \times 2 = 8.

3. Maneiras permitidas: 24 - 8 = 16.

Outra conferência: fixe a parede azul (4 escolhas). A rosa não pode ser a oposta, então tem 2 escolhas (as vizinhas). Verde e branco ocupam as 2 paredes restantes: 2 maneiras. Total: 4 \times 2 \times 2 = 16.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E (24) engana quem ignora a restrição; a A (8) engana quem calcula só os casos proibidos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta apenas as maneiras proibidas (azul e rosa frente a frente), sem subtrair do total.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta; erro ao subtrair ou ao contar as escolhas.
• DResultado sem base na contagem; não equivale a 24 menos 8.
• EÉ o total 4!, esquecendo de descontar os casos com azul e rosa opostas.

Assunto: Permutações.

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